English
عربى
中文
Deutsch
Español
Français
हिन्दी
Hrvatski
Italiano
日本語
Português
Română
Русский
Svenska
Türkçe
Tiếng ViệtFraktaliSierpinski trokut
Jedan od fraktala koje smo vidjeli u prethodnom poglavlju bio je
Wacław Sierpiński bio je prvi matematičar koji je razmišljao o svojstvima ovog trokuta, ali pojavilo se mnogo stoljeća ranije u umjetničkim djelima, uzorcima i mozaicima.
Evo nekoliko primjera podnih obloga iz različitih crkava u Rimu:
Kao što se ispostavilo, Sierpinski trokut pojavljuje se u širokom rasponu drugih područja matematike, a postoji mnogo različitih načina za njegovo generiranje. U ovom ćemo poglavlju istražiti neke od njih!
Pascalov trokut
Možda se već sjećate Sierpinskog trokuta iz našeg poglavlja o
Pascalov trokut može se zauvijek nastaviti prema dolje, a Sierpinski uzorak nastavit će se većim i većim trokutima. Već možete vidjeti početak još većeg trokuta, počevši od 16. reda.
Ako su dvije susjedne ćelije djeljive s 2, tada njihov zbroj u ćeliji ispod mora biti i djeljiv sa 2 - zato možemo dobiti samo obojene trokute (ili pojedine ćelije). Naravno, možemo pokušati obojati i sve ćelije djeljive brojevima osim 2. Što mislite, što će se dogoditi u tim slučajevima?
Ovdje možete vidjeti malenu verziju prvih 128 redaka Pascalovog trokuta. Izdvojili smo sve ćelije koje su deljive sa
Za svaki broj dobivamo različit trokutasti uzorak sličan Sierpinskom trokutu. Obrazac je osobito pravilan ako odaberemo
Igra kaosa
Ovdje možete vidjeti tri vrhova jednakostraničnog trokuta. Kucnite bilo gdje u sivom području da biste stvorili četvrtu točku.
Igrajmo se jednostavne igre: izaberemo jednu od vrhova trokuta nasumično, povučemo linijski segment između naše točke i vrha, a zatim pronađemo sredinu tog segmenta.
Sada ponavljamo postupak: odabiremo još jednu slučajnu vršku, crtamo segment iz naše posljednje točke i pronalazimo sredinu. Imajte na umu da ove nove točke obojamo na temelju boje vrha odabranog trokuta.
Do sada se nije dogodilo ništa iznenađujuće - ali pazite kako isti postupak ponavljamo još mnogo puta:
Taj se postupak naziva igra kaosa. Na početku bi moglo biti nekoliko zalutalih točaka, ali ako iste korake ponovite više puta, raspodjela točkica počinje izgledati točno kao Sierpinski trokut!
Postoje mnoge druge verzije istog - na primjer, mogli bismo započeti kvadratom ili pentagonom, mogli bismo dodati dodatna pravila poput nemogućnosti odabira iste vrhove dva puta zaredom ili bismo mogli odabrati sljedeću točku u omjeru osim
Jeste li otkrili ili ovaj na osnovu
Stanični automati
ćelijski automat je mreža koja se sastoji od mnogih pojedinačnih ćelija. Svaka ćelija može biti u različitim "stanjima" (npr. Različite boje), a stanje svake ćelije određuje okolne stanice.
U našem primjeru svaka ćelija može biti ili crna ili bijela. Započinjemo s jednim redom koji sadrži samo jedan crni kvadrat. U svakom sljedećem retku boja svake ćelije određuje se od tri gornje ćelije. Dodirnite osam mogućih opcija dolje da biste preokrenuli njihovu boju - možete li pronaći skup pravila koja stvara uzorak sličan Sierpinskom trokutu?
Postoje dva izbora za svaku od osam opcija, što znači da ukupno postoji
Stanični automati pokazuju kako se vrlo složeni obrasci mogu stvoriti vrlo jednostavnim pravilima - baš kao i fraktali. Mnogi procesi u prirodi slijede jednostavna pravila, ali ipak proizvode nevjerojatno složene sustave.
U nekim slučajevima to može dovesti do pojave uzoraka koji izgledaju poput staničnih automata, na primjer boje na školjci ovog puža.
Conus tekstil, otrovni morski puž
Sierpinski Tetrahedra
Postoje mnoge varijante Sierpinskog trokuta i drugih fraktala sa sličnim svojstvima i procesima stvaranja. Neki izgledaju dvodimenzionalno, poput Sierpinskog tepiha koji ste vidjeli gore. Ostali izgledaju trodimenzionalno, poput ovih primjera:
Sierpinski Tetrahedra
Sierpinski piramida