Promjena jezika

Englishعربى中文DeutschEspañolFrançaisहिन्दीHrvatskiItaliano日本語PortuguêsRomânăРусскийSvenskaTürkçeTiếng Việt

Prijavite se u Mathigon

ili

Novi profil     Resetiranje lozinke     

Krugovi i Pi
Kratki film
Uvod
Stupnjevi i radijani
Tangenta, akordi i lukovi
Teoreme kruga
Ciklički poligoni
Kugle, konusi i cilindri
Konusni presjeci

Podijeli

Poništavanje napretka

Ovim ćete izbrisati podatke o napretku i chatu za sva poglavlja ovog tečaja i ne možete ih poništiti!

Riječnik

Odaberite jednu od ključnih riječi s lijeve strane ...

Krugovi i PiStupnjevi i radijani

Vrijeme čitanja: ~25 min

Do sada smo u geometriji uvijek mjerili kutove u stupnjevima. puni krug rotacija je °, polovina kruga je °, četvrtina kruga je °, i tako dalje.

Broj 360 je vrlo zgodan jer je djeljiv s tolikim drugim brojevima: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, i tako dalje. To znači da su mnogi ulomci jednog kruga također cijeli brojevi. Ali jeste li se ikad zapitali odakle dolazi broj 360?

Kao što se događa, 360 stupnjeva jedan je od najstarijih pojmova u matematici koji i danas koristimo. Razvijeni su u drevnom Babilonu, prije više od 5000 godina!

U to je vrijeme jedna od najvažnijih primjena matematike bila u astronomiji. sunce određuje četiri godišnja doba koja poljoprivrednici moraju znati kada uzgajaju usjeve. Slično tome, mjesec određuje plimu, koja je bila važna za ribolovce. Ljudi su također proučavali zvijezde kako bi predviđali budućnost ili komunicirali s bogovima.

Babilonska tablica za izračun 2

Astronomi su primijetili da se zviježđa vidljiva u određeno vrijeme tijekom noći pomiču sitno svaki dan - sve dok se, nakon otprilike 360 dana, ne okreću natrag do svoje početne točke. A to bi mogao biti razlog zašto su krug podijelili u 360 stupnjeva.

Midnight on day ${day}

Naravno, zapravo ima 365 dana u jednoj godini (dobro, 365.242199 da budemo tačni), ali babilonski matematičari radili su s jednostavnim sunčanim satima i ta je aproksimacija bila sasvim odgovarajuća.

Također je dobro surađivao s postojećim brojevnim brojem-60 (od 6×60=360). Ovaj sustav je razlog zašto još uvijek imamo 60 sekundi u minuti i 60 minuta u satu - iako se većina ostalih jedinica mjeri u bazi 10 (npr. 10 godina u desetljeću ili 100 godina u stoljeće).

Za mnoge od nas mjerenje kuta u stupnjevima je druga priroda: postoji 360 ° video, skejtboristi mogu povući 540s, a netko tko promijeni odluku mogao bi skrenuti za 180 °. Ali s matematičkog stajališta, izbor 360 potpuno je proizvoljan. Da smo živjeli na Marsu, krug bi mogao imati 670 °, a godina na Jupiteru čak ima 10.475 dana.

540 McFlip, rotacija za 540 °

Radijani

Umjesto da podijele krug na neki broj segmenata (poput 360 stupnjeva), matematičari često vole izmjerite kutove pomoću obima kruga jedinice (krug s polumjerom 1).

A ima opseg .

Za , odgovarajuća udaljenost duž oboda je .

Za , udaljenost duž oboda je .

I tako dalje: ovaj način mjerenja uglova naziva se radijanima (ovo se možeš zapamtiti kao "jedinice radijusa").

Svaki kut u stupnjevima ima ekvivalentnu veličinu u radijanima. Pretvaranje između dvije je vrlo jednostavno - baš kao što možete pretvoriti između drugih jedinica poput metra i kilometara ili Celzija i Farenheita:

360 ° = 2 π rad

⇒ 1 ° = rad

_{span.rotate.right} `=>`_

1 rad = °

ti može napisati vrijednost radijana bilo kao množinu π, ili kao samo jedan decimalni broj. Možete li ispuniti ovu tablicu ekvivalentnih veličina kuta u stupnjevima i radijanima?

stupnjeva060180
radijani0232π

Putovanje udaljenosti

Radijane možete misliti kao "pređenu udaljenost" duž opsega jedinice kruga. Ovo je posebno korisno za rad s predmetima koji se kreću kružnom stazom.

Na primjer, Međunarodna svemirska stanica kruži oko Zemlje jednom svakih 1,5  sat. To znači da je brzina rotacije radijana na sat.

U krugu jedinica, brzina rotacije jednaka je brzini stvarna, jer je duljina opsega jednaka jednoj punoj rotaciji u radijanima (oba su 2π).

Polumjer ISS-ove orbite je 6800  km, što znači da stvarna brzina ISS-a mora biti = 28483 km na sat.

${round(p*1.5,1)}h

Možete li vidjeti da su u ovom primjeru radijani mnogo prikladnija jedinica od stupnjeva? Jednom kada znamo brzinu rotacije, jednostavno se moramo pomnožiti s polumjerom da bismo dobili stvarnu brzinu. Evo još jednog primjera: vaš automobil ima kotače s radijusom 0,25 m. Ako vozite brzinom od 20 m / s, kotači vašeg automobila okreću se brzinom od radijana u sekundi (ili 802π=13 rotacije u sekundi).

Trigonometrija

Za većinu jednostavnih problema s geometrijom stupnjevi i radijani su potpuno međusobno zamijenjeni - možete odabrati koji vam je draži ili će vam postaviti pitanje koja jedinica treba dati odgovor. Međutim , kad proučite napredniju trigonometriju ili račun, ispostavilo se da su radijani mnogo prikladniji od stupnjeva.

Većina kalkulatora ima poseban gumb za prebacivanje između stupnjeva i radijana. Trigonometrijske funkcije poput sin, cos i ten uzimaju kutove kao ulaz, a njihove obrnute funkcije arcsin, lukovi i arctan vratili su kutove kao izlaz. Trenutna postavka kalkulatora određuje koje se jedinice koriste za te kutove. Pokušajte pomoću ovog kalkulatora izračunati da je

sin (30 °) = cos (1 °) = grijeh (30 rad) = cos (1 rad) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

Korištenje radijana ima jednu posebno zanimljivu prednost kod korištenja funkcije Sine. Ako je θ vrlo mali kut (manji od 20 ° ili 0,3 rad), onda je sinθ≈θ. Na primjer,

grijeh (${x}) ≈ ${sin(x)} ...

To se naziva aproksimacija malog kuta, a može uvelike pojednostaviti određene jednadžbe koje sadrže trigonometrijske funkcije. O tome ćete u budućnosti saznati mnogo više.

Archie