Riječnik

Odaberite jednu od ključnih riječi s lijeve strane ...

Krugovi i PiKugle, konusi i cilindri

Vrijeme čitanja: ~45 min

U prethodnim smo odjeljcima proučavali svojstva kružnica na ravnoj površini. No, naš je svijet zapravo trodimenzionalan, pa pogledajmo neke 3D čvrste sastojke koji se temelje na krugovima:

Cilindar sastoji se od dva kongruentna paralelna kruga spojena zakrivljenom površinom.

A konus ima kružnu bazu koja je spojena u jednu točku (koja se naziva vrhovima).

Svaka točka na površini sfere ima istu udaljenost od središta.

Primijetite kako je definicija sfere gotovo jednaka definiciji - osim u tri dimenzije!

Cilindri

Ovdje možete vidjeti cilindrični Gasometar u Oberhausenu, Njemačka. Nekada je skladištao prirodni plin koji je služio kao gorivo u obližnjim tvornicama i elektranama. Gasometar je visok 120 m, a njegova baza i strop dva su velika kruga s polumjerom 35 m. Postoje dva važna pitanja na koja bi inženjeri mogli odgovoriti:

  • Koliko prirodnog plina može biti pohranjeno? Ovo je cilindra.
  • Koliko čelika je potrebno za izgradnju gasometra? Ovo je (približno) cilindra.

Pokušajmo pronaći formule za oba ova rezultata!

Gasometar Oberhausen

Količina cilindra

Gornji i donji dio cilindra su dva složena kruga koja se zovu osnove. visina h cilindra je okomita udaljenost između ovih baza, a polumjer r od cilindar je jednostavno polumjer kružnih baza.

Cilindar možemo približiti ${n}__ prizmom](gloss:prism). Kako se broj strana povećava, prizma počinje sve više podsjećati na cilindar:

Iako cilindar tehnički nije prizma, dijele mnoga svojstva. U oba slučaja možemo pronaći volumen množenjem površine njihove baze s njihovom visinom. To znači da cilindar sa polumjerom r i visinom h ima volumen

V=

Zapamtite da polumjer i visina moraju koristiti iste jedinice. Na primjer, ako su r i h oboje u cm, glasnoća će biti u .

U gornjim primjerima, dvije baze cilindra uvijek su bile izravno jedna iznad druge: ovo se zove desni cilindar. Ako osnove nisu izravno jedna iznad druge, imamo kosi cilindar. Osnove su još uvijek paralelne, ali čini se da se stranice "naginju" pod kutom koji nije 90 °.

Nagnuti toranj u Pizi u Italiji nije baš običan cilindar.

Pokazalo se da je volumen nagibnog cilindra potpuno isti kao volumen desnog cilindra s istim polumjerom i visinom. To je zbog Cavalierijevog principa, nazvanog po talijanskom matematičaru Bonaventura Cavalieri: ako dvije čvrste tvari imaju isto područje poprečnog presjeka na svakoj visini, tada će imaju isti volumen.

Zamislite rezanje cilindra na puno tankih diskova. Zatim možemo ove diskove gurnuti vodoravno da bismo dobili kosi cilindar. Glasnoća pojedinih diskova se ne mijenja dok se pravite ukoso, pa ukupna glasnoća također ostaje konstantna:

Površina cilindara

Da bismo pronašli površinu cilindra, moramo ga "razmotati" u svoj stan mreža. Možete to i sami pokušati, na primjer skidanjem s etikete na konzervi hrane.

Postoje dva , jedan na vrhu i jedan na dnu cilindra. Zakrivljena strana je zapravo veliki .

  • Svaka od dva kruga imaju područje .
  • Visina pravokutnika je , a širina pravokutnika je jednaka krugova: .

To znači da je ukupna površina cilindra s polumjerom r i visinom h dana

A= .

Cilindre možete pronaći svugdje u našem svijetu - od limenke s sodom do toaletnog papira ili vodovodnih cijevi. Možete li smisliti još neke primjere?

Gasometar imao je polumjer 35m i visinu od 120m. Sada možemo izračunati da je njegov volumen otprilike m3, a njegova površina je približno m2.

Konusi

konus trodimenzionalna kruta tvar koja ima kružnu bazu. Njegova strana "sužava se prema gore", kao što je prikazano na dijagramu, a završava u jednoj točki nazvanoj verteksu.

polumjer konusa je polumjer kružne baze, a visina konusa pravokutni je udaljenost od osnove do vrha.

Kao i drugi oblici koje smo prije sreli, i stožci su posvuda oko nas: stožci sladoleda, prometni stošci, određeni krovovi pa čak i božićna drvca. Što još možete misliti?

Volumen konusa

Prethodno smo pronašli volumen cilindra aproksimirajući ga pomoću prizme. Slično tome, volumen konusa možemo pronaći tako da ga približimo pomoću piramide.

Ovdje možete vidjeti ${n} jednostranu piramidu. Kako se broj strana povećava, piramida počinje sve više ličiti na stožac. U stvari, o konusu bismo mogli razmišljati kao o piramidi sa beskonačno mnogo strana!

To također znači da za volumen možemo upotrijebiti i jednadžbu: V=13base×height. Osnova konusa je krug, tako da je volumen konusa s polumjerom r i visinom h

V=

Primijetite sličnost s jednadžbom za volumen cilindra. Zamislite da crtate cilindar oko konusa, s istom bazom i visinom - to se naziva opisan cilindar. Konus će zauzeti tačno volumena cilindra:

Napomena: Mogli biste pomisliti da je beskonačno mnogo sitnih strana kao aproksimacija pomalo "neprecizno". Matematičari su dugo vremena pokušavali pronaći jednostavniji način izračunavanja volumena konusa. Godine 1900. veliki matematičar David Hilbert čak ga je imenovao jednim od 23 najvažnija neriješena problema u matematici! Danas znamo da je to zapravo nemoguće.

Kao i cilindar, konus ne mora biti "ravan". Ako se vrh nalazi izravno preko sredine baze, imamo desni konus. Inače ga zovemo kosi konus.

Još jednom možemo upotrijebiti Cavalierijev princip da pokažemo da svi kosi stožci imaju isti volumen pod uvjetom da imaju istu bazu i visinu.

Površina konusa

Pronalaženje površine konusa nešto je složenije. Kao i prije, možemo iskopati konus u njegovu mrežu. Pomaknite klizač da vidite što se događa: u ovom slučaju dobit ćemo jedan krug i jedan .

Sada samo moramo dodati površinu obje ove komponente. Baza je krug s polumjerom r, pa je njegovo područje

ABase= .

Polumjer sektora jednak je udaljenosti od ruba konusa do njegove vrhove. To se zove visina nagiba s konusa, a nije isto što je uobičajena visina h , Visinu nagiba možemo pronaći pomoću Pitagore:

s2=
s=

Dužina luka sektora jednaka je baze baze: 2πr. Sada možemo pronaći područje sektora pomoću formule <<<< koju smo dobili u prethodnom odjeljku:

ASector=ACircle×arccircumference
=

I na kraju, moramo samo zbrojiti područje baze i područje sektora da ukupna površina bude od konusa:

A=

Sfere

sfera trodimenzionalna je čvrsta tvar koja se sastoji od svih točaka koje imaju istu udaljenost od danog središta C. Ta se udaljenost naziva polumjer r.

O sferi možete razmišljati kao o "trodimenzionalnom krugu". Baš kao krug, kugla ima i promjer d, što je duljina radijusa, kao i akordi i sekvence.

U prethodnom odjeljku naučili ste kako je grčki matematičar Eratosten izračunao polumjer Zemlje pomoću sjene pola - bio je 6.371 km. Sada pokušajmo pronaći ukupni volumen i površinu Zemlje. {[Nastaviti 1091}

Volumen sfere

Da bismo pronašli volumen sfere, još jednom moramo upotrijebiti Cavalierijevo načelo. Počnimo s hemisferom - sferom presječenom na polovici duž ekvatora. Također nam je potreban cilindar s istim polumjerom i visinom kao i hemisfera, ali s invertiranim konusom „izrezanim“ u sredini.

Dok pomičete klizač dolje, možete vidjeti presjek oba ova oblika na određenoj visini iznad baze:

Pokušajmo pronaći površinu presjeka obje ove čvrste tvari, na udaljenosti visine h iznad baze.

Presjek hemisfere je uvijek .

Polumjer x presjeka je dio pravokutnog trokuta, pa možemo koristiti pythagoras,

r2=h2+x2.

Sada je područje presjeka

A=

Poprečni presjek izrezanog cilindra uvijek je .

Polumjer rupe je h. Područje prstena možemo pronaći oduzimanjem područja rupe od područja većeg kruga:

A=πr2πh2
=πr2h2

Čini se da obje čvrste tvari imaju isto područje poprečnog presjeka na svakoj razini. Prema Cavalierijevom principu, obje čvrste tvari moraju također imati isti volumen ! Volumen hemisfere možemo pronaći ako oduzmemo volumen cilindra i volumen konusa:

VHemisphere=VCylinderVCone
=

Kugla se sastoji od hemisfere, što znači da njen volumen mora biti

V=43πr3.

Zemlja je (približno) sfera s polumjerom od 6.371  km. Stoga je njegov volumen

V=
= 1 km3

Prosječna gustoća Zemlje je 5510kg/m3. To znači da je njegova ukupna masa

Mass=Volume×Density6×1024kg

To je 6, a slijede 24 nule!

Ako usporedite jednadžbe za volumen cilindra, konusa i sfere, možda ćete primijetiti jedan od najzadovoljnijih odnosa u geometriji. Zamislite da imamo cilindar iste visine kao i promjer njegove osnove. Sada možemo savršeno uklopiti konus i kuglu u svoju unutrašnjost:

+

Ovaj konus ima polumjer r i visinu 2r. Volumen mu je

=

Ova sfera ima polumjer r. Volumen mu je

Ovaj cilindar ima polumjer r i visinu 2r. Volumen mu je

Primjetite kako, ako volumen konusa i sfere, dobivamo točno volumen cilindra!

Površina sfere

Pronalaženje formule za površinu kugle vrlo je teško. Jedan od razloga je što površinu sfere ne možemo otvoriti i "poravnati", kao što smo to radili za konuse i boce.

To je posebno pitanje kod pokušaja stvaranja karata. Zemlja ima zakrivljenu, trodimenzionalnu površinu, ali svaka ispisana karta mora biti ravna i dvodimenzionalna. To znači da Geografi moraju varati: istezanjem ili škripanjem određenih područja.

Ovdje možete vidjeti nekoliko različitih tipova karata, nazvanih projekcije. Pokušajte pomaknuti crveni kvadrat i pogledajte kako ovo područje zapravo izgleda na globusu:

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.

Da bismo pronašli površinu neke kugle, još jednom je možemo približiti drugačijim oblikom - na primjer, poleded s puno lica. Kako se broj lica povećava, poliedar počinje sve više podsjećati na sferu.

Uskoro: Dokazivanje površine sfere