Promjena jezika

Englishعربى中文DeutschEspañolFrançaisहिन्दीHrvatskiItaliano日本語PortuguêsRomânăРусскийSvenskaTürkçeTiếng Việt

Prijavite se u Mathigon

ili

Novi profil     Resetiranje lozinke     

Krugovi i Pi
Kratki film
Uvod
Stupnjevi i radijani
Tangenta, akordi i lukovi
Teoreme kruga
Ciklički poligoni
Kugle, konusi i cilindri
Konusni presjeci

Podijeli

Poništavanje napretka

Ovim ćete izbrisati podatke o napretku i chatu za sva poglavlja ovog tečaja i ne možete ih poništiti!

Riječnik

Odaberite jednu od ključnih riječi s lijeve strane ...

Krugovi i PiUvod

Vrijeme čitanja: ~30 min

Sve dok ljudi postoje, gledali smo u nebo i pokušali objasniti život na Zemlji koristeći gibanje zvijezda, planeta i mjeseca.

Drevni grčki astronomi bili su prvi koji su otkrili da se svi nebeski objekti kreću redovitim stazama, nazvanim orbitama. Vjerovali su da su ove orbite uvijek kružne. Napokon, krugovi su "najsavršeniji" svih oblika: simetrični u svim smjerovima, i na taj način je pogodan izbor za temeljni poredak našeg svemira.

Zemlja je u središtu Ptolemejskog svemira.

Svaka točka kruga ima istu udaljenost od središta. To znači da se mogu nacrtati kompasom:

Postoje tri važna mjerenja povezana s krugovima koje morate znati:

  • Polumjer je udaljenost od središta kruga do njegovog vanjskog ruba.
  • promjer je udaljenost između dviju suprotnih točaka u krugu. Prolazi kroz njegovo središte, a njegova dužina je polumjer.
  • Opseg (ili obod) je udaljenost oko kruga.

Važno svojstvo krugova je da su svi krugovi slični. To možete dokazati pokazujući kako se svi krugovi mogu uskladiti koristeći prijevode i dilatacije:

Možda se sjećate da je za slične poligone omjer između odgovarajućih strana uvijek konstantan. Nešto slično djeluje za krugove: omjer između obima i promjera jednak je za svih krugova. Uvijek je 3.14159 ... - tajanstveni broj zvan Pi, koji se često piše kao grčko pismo π za "p". Pi ima beskonačno mnogo decimalnih znamenki koje se zauvijek nastavljaju bez ikakvog određenog uzorka:

Ovdje je kotač promjera 1. Dok "odmotavate" obod, možete vidjeti da je njegova duljina točno :

01234π

Za krug promjera d, obim je C=π×d. Slično tome, za krug s polumjerom r, obim je

C= .

Krugovi su savršeno simetrični i nemaju "slabe točke" poput uglova poligona. To je jedan od razloga zašto ih možete naći svugdje u prirodi:

Cvijeće

Planeti

Drveće

Voće

Sapunski mjehurići

A ima i toliko mnogo drugih primjera: od duge do vodenih valova. Možete li smisliti nešto drugo?

Ispada također da je krug oblika s najvećim područjem za određeni opseg. Na primjer, ako imate konop duljine 100  m, možete ga upotrijebiti za ograđivanje najvećeg prostora ako formirate krug (umjesto ostalih oblika poput pravokutnika ili trokuta).

U prirodi predmeti poput kapi vode ili mjehurića zraka mogu uštedjeti energiju postajući kružni ili sferični, smanjujući njihovu površinu.

Triangle
Square
Pentagon
Circle

Kružnica = 100, Područje = ${area}

Područje kruga

Ali kako zapravo izračunati površinu kruga? Pokušajmo s istom tehnikom kojom smo koristili pronalaženje područja četverokuta: izrezali smo oblik na više različitih dijelova, a zatim ih preuredili u drugi oblik za koji već znamo područje (npr. Pravokutnik ili trokut ).

Razlika je samo u tome što su krugovi zakrivljeni i moramo imati neke aproksimacije:

rπr

Ovdje možete vidjeti krug podijeljen na ${toWord(n1)} klinove. Pomaknite klizač kako biste složili klinove u jednom redu.

Ako povećamo broj klinova na ${n1}, ovaj oblik počinje sve više ličiti na .

Visina pravokutnika jednaka je kruga. Širina pravokutnika jednaka je kružnice. gore.)

Stoga je ukupna površina pravokutnika približno A=πr2.

r2πr

Ovdje možete vidjeti krug podijeljen na ${toWord(n)} prstenove. Kao i prije, klizač možete pomaknuti da "odvijete" prstenove.

Ako povećamo broj prstenova na ${n2}, ovaj oblik počinje sve više ličiti na .

Visina trokuta jednaka je kruga. Baza trokuta jednaka je kruga. Stoga je ukupna površina trokuta približno

A=12base×height=πr2.

Ako bismo mogli upotrijebiti beskonačno mnogo prstenova ili klinova, gornje aproksimacije bi bile savršene - i obojica nam daju istu formulu za područje kruga:

A=πr2.

Izračunavanje Pi

Kao što ste vidjeli gore, π=3.1415926… nije jednostavan cijeli broj, a decimalne se znamenke nastavljaju zauvijek, bez ikakvog ponavljajućeg uzorka. Brojevi s ovim svojstvom nazivaju se iracionalni brojevi, a to znači da se π ne može izraziti kao jednostavan ulomak ab.

To također znači da nikada ne možemo zapisati sve znamenke Pi - uostalom, ima ih beskonačno mnogo. Drevni grčki i kineski matematičari izračunali su prve četiri decimalne znamenke Pi približavajući krugove koristeći pravilne poligone. Primijetite kako, kako dodajete više strana, poligon počinje izgledati poput kruga:

  1. Isaac Newton uspio je izračunati 15 znamenki. Danas možemo koristiti moćna računala za izračunavanje vrijednosti Pi na mnogo veću točnost.

Trenutni rekord iznosi 31,4 bilijuna znamenki. Tiskana knjiga koja sadrži sve ove znamenke bila bi debljina otprilike 400  km - to je visina na kojoj Međunarodna svemirska stanica kruži oko Zemlje!

Naravno, ne trebate pamtiti mnogobrojne Pi znakove. U stvari, frakcija 227=3.142… je velika aproksimacija.

Jedan od načina izračunavanja Pi je korištenje beskonačnih nizova brojeva. Evo jednog primjera koji je Gottfried Wilhelm Leibniz otkrio 1676. godine:

π=41−43+45−47+49−4+…

Kako izračunavamo sve više i više izraza ove serije, uvijek slijedeći isti obrazac, rezultat će se Pi i približiti.

Mnogi matematičari vjeruju da Pi ima još znatiželjnije svojstvo: da je to normalan broj. To znači da se znamenke od 0 do 9 pojavljuju potpuno nasumično, kao da je priroda nekoliko puta beskonačno bacala kockice na 10 stranica kako bi odredila vrijednost Pi.

Ovdje možete vidjeti prvih 100 znamenki Pi-a. Pomičite se kroz neke ćelije da biste vidjeli kako se dijele znamenke.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9
…

Ako je Pi normalan, to znači da možete smisliti bilo koji niz cifara, a on će se pojaviti negdje na njegovim znamenkama. Ovdje možete pretraživati prvih milijun Pi-a - sadrže li vaš rođendan?

Milijun cifara Pi

Search for a string of digits:
3.

Čak smo mogli pretvoriti cijelu knjigu, poput Harryja Pottera, u vrlo dugačak niz znamenki (a = 01, b = 02 i tako dalje). Ako je Pi normalan, ovaj se niz pojavit će negdje u njegovim znamenkama - ali bilo bi potrebno milion godina da izračunamo dovoljno znamenki da ga pronađete.

Pi je lako razumjeti, ali od temeljne važnosti u znanosti i matematici. To bi mogao biti razlog zašto je Pi postao neuobičajeno popularan u našoj kulturi (barem, u usporedbi s drugim temama matematike):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

Postoji čak i Pi dan svake godine, koji ili pada 14. ožujka, jer π≈3.14, ili 22. srpnja, jer π≈227.

Archie