Poligoni i poliedričetverokuta

U prethodnom tečaju istraživali smo mnoga različita svojstva trokuta. Sada pogledajmo četverostrane.

Pravilni četverostrani naziva se . Sve njegove strane imaju jednaku duljinu, a svi su mu kutovi jednaki.

Kvadrat je četverokut s četiri jednake strane i četiri jednaka kuta .

Za malo manje redovne četverokute, imamo dvije mogućnosti. Ako samo želimo da kutovi budu jednaki, dobivamo pravokutnik . Ako samo želimo da stranice budu jednake, dobit ćemo romb .

Pravokutnik je četverostranik s četiri jednaka kuta .

Rhombus je četverostrana s četiri jednake strane .

Postoji nekoliko drugih četverokuta, koji su još manje pravilni, ali imaju određena važna svojstva:

Ako su oba para suprotnih strana paralelna , dobivamo paralelogram .

Ako dva para susjednih strana imaju jednaku duljinu, dobit ćemo Kite .

Ako je barem jedan par suprotnih strana paralelan, dobivamo trapez .

Četverostrani mogu spadati u više tih kategorija. Možemo prikazati hijerarhiju različitih vrsta četverostrana kao Vennov dijagram :

Na primjer, svaki je pravokutnik i svaki je također zmaj. je romb kvadrat i pravokutnik nisu trapez.

Da ne bi došlo do nejasnoća, obično koristimo upravo najkonkretniju vrstu.

Sada odaberite četiri točke bilo gdje u sivom okviru s lijeve strane. Sve ih možemo povezati da bismo tvorili četverokut.

Nađimo sredinu svake od četiri strane. Ako povežemo srednje točke, dobit ćemo .

Pokušajte pomicati vrhove vanjskog četverokuta i promatrati što se događa s manjim. Izgleda da to nije samo bilo koji četverostrani, već uvijek !

Ali zašto je to tako? Zašto bi rezultat bilo kojeg četverokuta uvijek trebao biti paralelogram? Da bismo nam objasnili, moramo nacrtati jednu dijagonalu izvornog četverokuta.

Dijagonala dijeli četverokut u dva trokuta . A sada možete vidjeti da su dvije strane unutarnjeg četverokuta zapravo ovih trokuta.

U prethodnom smo tečaju pokazali da su srednji dijelovi trokuta uvijek paralelni s njegovom osnovom. U ovom slučaju, to znači da su obje ove strane paralelne dijagonali - dakle moraju biti i .

Točno isto možemo učiniti s drugom dijagonalom četverokuta, kako bismo pokazali da su oba para suprotnih strana paralelna. I to je sve što trebamo da dokažemo da je unutarnji četverokutan paralelogram .

paralelograma

Ispada da paralelogrami imaju i mnoga druga zanimljiva svojstva, osim što su suprotne strane paralelne. Koja je od sljedećih šest tvrdnji istinita?

The opposite sides are congruent.

The internal angles are always less than 90°.

The diagonals bisect the internal angles.

The opposite angles are congruent.

Both diagonals are congruent.

Adjacent sides have the same length

The two diagonals bisect each other in the middle.

Naravno, jednostavno "promatranje" ovih svojstava nije dovoljno. Da bismo bili sigurni da su uvijek istinite, moramo ih dokazati :

Nasuprotne strane i kutovi

Pokušajmo dokazati da su suprotne strane i kutovi u paralelogramu uvijek jednaki.

Započnite crtanjem jedne dijagonale paralelograma.

Dijagonala stvara četiri nova kuta sa stranicama paralelograma. Dva crvena i dva plava kuta su naizmjenični kutovi , tako da moraju biti .

Sada ako pogledamo dva trokuta stvorena dijagonalom, vidimo da imaju dva kongruentna kuta i jednu kongruentnu stranu . Od strane Uvjeti kongencije , oba trokuta moraju biti sukladna.

To znači da i ostali odgovarajući dijelovi trokuta također moraju biti sukladni: posebno su oba para suprotnih strana jednaka, a oba para suprotnih kutova jednaka.

Ispada da je i obratno: ako su oba para suprotnih strana (ili kutova) u četverostraniku jednaka, tada četverostrani mora biti paralelogram.

dijagonala

Sada dokažite da se dvije dijagonale u paralelogramu dijele jedna na drugu.

Razmislimo o dva žuta trokuta generirana dijagonalama:

Upravo smo dokazali da su dvije zelene strane jednake, jer su suprotne strane paralelograma. * Dva crvena i dva plava kuta su jednaka jer su .

Od strane uvjet, oba žuta trougla moraju stoga biti sukladni.

Sada se možemo upotrijebiti u činjenici da su i odgovarajući dijelovi kongruentnih trokuta u skladu s tim AM‾ = CM‾ i BM‾ = DM‾ , Drugim riječima, dvije dijagonale se presijecaju u njihovim srednjim točkama.

Kao i prije, vrijedi i obrnuto: ako se dvije dijagonale četverostrana dijele jedna na drugu, tada je četverostranik paralelogram.

zmajevi

Pokazali smo gore da su dva para strane paralelograma su skladne. U kitu su dva para susjednih strana sukladna.

Naziv Kite jasno dolazi iz njegovog oblika: izgleda kao zmajevi kojima možete letjeti nebom. Međutim, od svih specijalnih četverostrana koje smo vidjeli do sada, Kite je jedini koji također može biti konkavan : ako je u obliku strelice ili strelice:

Konveksni zmaj

Konkavni zmaj koji izgleda poput strijele

Možda ste primijetili da su svi zmajevi . Os simetrije .

Dijagonala dijeli zmaj na dva složena trokuta . Znamo da su kongruentni iz SSS stanja: oba trokuta imaju tri kongruentne strane (crvena, zelena i plava).

Koristeći CPOCT , stoga znamo da i odgovarajući kutovi moraju biti u skladu.

To znači, na primjer, da je dijagonala dvaju kutova na njegovim krajevima.

Možemo ići i dalje: ako nacrtamo drugu dijagonalu, dobit ćemo još dva, manja trokuta . Oni također moraju biti sukladni zbog SAS uvjeta: imaju iste dvije strane i uključeni kut .

To znači da kut α mora biti isti kao i kut β . Budući da su susjedni, dodatni kutovi i α i β moraju biti °.

Drugim riječima, dijagonale kita uvijek su .

Područje četverostrana

Prilikom izračunavanja površine trokuta u prethodnom tečaju koristili smo trik kako ga pretvoriti u . Ispada da to možemo učiniti i za neke četverokute:

Paralelogram

Pokušajte nacrtati pravokutnik s istog područja kao i paralelogram.

Možete li vidjeti da je trokut koji nedostaje na lijevoj strani trokuta koji se preklapa s desne strane? Stoga je područje paralelograma

Područje = baza × visina

Pazite pri mjerenju visine paralelograma: on obično nije isti kao jedna od dvije strane.

trapezoid

Podsjetimo da su trapezi četverostrani s jednim parom paralelnih strana . Te se paralelne strane nazivaju bazama trapeza.

Kao i prije, pokušajte nacrtati pravokutnik koji ima isto područje kao i ovaj trapez. Možete li vidjeti kako nestaju i dodani trokuti s lijeve i desne strane otkazuju?

visina ovog pravokutnika je paralelnih strana trapeza.

širina pravokutnika je udaljenost između dviju paralelnih strana trapeza. To se naziva srednji segment trapeza.

Kao i kod trokuta , srednji segment trapeza je njegove dvije osnove. Duljina srednjeg dijela je prosjek duljina baza: a+c2 ,

Ako sve to kombiniramo, dobivamo jednadžbu za područje trapeza s paralelnim stranama a i c , a visina h :

A=h×a+c2

Zmaj

U ovom zmaju dvije dijagonale tvore širinu i visinu velikog pravokutnika koji okružuje zmaj.

Površina ovog pravokutnika je veće površine kita. Možete li vidjeti kako su svaki od četiri trokuta koji čine zmaj jednaki kao i četiri praznine izvan njega?

To znači da je područje kita dijagonalama d1 i d2 je

Područje = 12 d1 × d2 .

Romb

Rhombus je četverostranik koji ima četiri povezane strane. Možda se sjećate da je svaki romb - i također .

To znači da za pronalaženje područja romba možemo upotrijebiti ili jednadžbu za područje paralelograma ili onu za područje zmaja:

Područje = baza × visina = 12 d1 × d2 .

U različitim kontekstima vam mogu biti dodijeljeni različiti dijelovi romba (stranice, visina, dijagonala), a trebali biste odabrati onu jednadžbu koja je prikladnija.

Promjena jezika

Prijavite se u Mathigon

Podijeli

Poništavanje napretka

Riječnik