Riječnik

Odaberite jednu od ključnih riječi s lijeve strane ...

Poligoni i poliedripoligoni

Vrijeme čitanja: ~30 min
Ova je stranica automatski prevedena i može sadržavati pogreške. Javite se ako nam želite pomoći pregledati prijevode!

Poligon je zatvorenog, ravnog oblika koji ima samo ravne strane. Poligoni mogu imati bilo koji broj strana i kutova, ali strane ne mogu biti zakrivljene. Koji od oblika ispod su poligoni?

polygon-1
polygon-2
polygon-3
polygon-4
polygon-5
polygon-5_1

Poligonima dajemo različita imena, ovisno o tome koliko strana imaju:

number-3

Triangle
3 sides

number-4

Quadrilateral
4 sides

number-5

Pentagon
5 sides

number-6

Hexagon
6 sides

number-7

Heptagon
7 sides

number-8

Octagon
8 sides

Kutovi u poligonima

Svaki poligon s n stranama također ima n unutarnjih kutova . Već znamo da je zbroj unutarnjih kutova u trokutu uvijek °, ali što je s ostalim mnogokutima?

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

Izgleda da je zbroj unutarnjih kutova u četverostraniku uvijek ° - točno zbroja uglova u trokutu. To nije slučajnost: svaki se četverokut može podijeliti u dva trokuta.

triangles-4
triangles-1
triangles-2
triangles-3

Isto vrijedi i za veće poligone. Pentagon možemo podijeliti u trokuta, pa je njegov unutarnji kut 3×180°= °. A šesterokut možemo podijeliti u trokuta, pa je njegov unutarnji kut 4×180°= °.

Poligon sa ${x} strane će imati unutarnji kut od 180° × ${x-2} = ${(x-2)*180}°. Općenitije, poligon s n stranama može se podijeliti na trokuta. Stoga,

Zbroj unutarnjih kutova u n -gonu =n2×180° ,

Konveksni i konkavni poligoni

Kažemo da je poligon konkavan ako ima presjek koji "pokazuje prema unutra". Možete zamisliti da se ovaj dio "uklesao" . Poligoni koji nisu konkavni nazivaju se konveksni .

Dva su načina na koja lako možete prepoznati konkavne poligone: oni imaju barem jedan unutarnji kut koji je veći od 180° . Također imaju barem jednu dijagonalu koja leži izvan poligona .

U konveksnim mnogokutima, s druge strane, svi su unutarnji kutovi manji od °, a sve dijagonale leže poligona.

Koji je od ovih poligona konkavan?

concave-1
concave-2
concave-3
concave-4
concave-5
concave-6

Regularni poligoni

Kažemo da je poligon pravilan ako sve njegove strane imaju jednaku duljinu, a svi kutovi imaju istu veličinu. Koji su od tih oblika pravilni poligoni?

regular-1
regular-2
regular-3
regular-4
regular-5
regular-6

Redoviti poligoni mogu biti u raznim veličinama - ali svi pravilni poligoni s istim brojem strana !

Već znamo zbroj svih unutarnjih kutova u mnogokutima. Za pravilne poligone svi su ovi kutovi , tako da možemo izračunati veličinu jednog unutarnjeg kuta:

kut = = 180°×x2x=180°360°x ,

Ako n=3 dobivamo veličinu unutarnjih kutova jednakostraničnog trokuta - već znamo da mora biti °. U redovnom poligonu sa ${x} strane, svaki unutarnji kut je 180° - 360°${x} = ${round(180-360/x)}°.

Područje pravilnih poligona

Ovdje možete vidjeti redoviti poligon sa ${n} strane. Svaka strana ima duljinu 1m . Pokušajmo izračunati njegovu površinu!

Prvo možemo poligon podijeliti u ${toWord(n)} kongruentne, trokut.

Već znamo ovih trokuta, ali trebamo i da bi mogli izračunati njegovo područje. U pravilnim mnogokutima ova se visina ponekad naziva i apotema .

Primijetite da postoji pravokutni trokut formiran apotemom i polovica osnove jednakokračnog trokuta. To znači da možemo koristiti trigonometriju!

osnovni kutovi izoscele trokuta (nazovimo ih α) su veća od unutarnjih kutova poligona:

α=12180°360°${n}=${round(90-180/n,2)}

Da bismo pronašli apotemu, možemo se poslužiti definicijom :

tanα=oppositeadjacent=

apothem=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

Sada je područje jednakokračnog trokuta

12base×height=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

Poligon se sastoji od ${toWord(n)} od ovih isoscelesnih trokuta, koji svi imaju isto područje. Stoga je ukupna površina poligona

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2