Riječnik

Odaberite jednu od ključnih riječi s lijeve strane ...

Poligoni i poliedriPlatonske čvrste tvari

Vrijeme čitanja: ~35 min
Ova je stranica automatski prevedena i može sadržavati pogreške. Javite nam se ako nam želite pomoći u pregledu prijevoda!

Na početku ovog tečaja definirali smo pravilne poligone kao posebno „simetrične“ poligone, pri čemu su sve strane i kutovi jednaki. Za poliedre možemo učiniti nešto slično.

U pravilnom poliedru sva su lica ista vrsta pravilnog poligona, a isti se broj lica susreće u svakom vrhu . Poliedri s ta dva svojstva nazivaju se platonski kruti dijelovi , nazvani po grčkom filozofu Platonu .

Pa kako izgledaju platonski kruti dijelovi - i koliko ih ima? Da bismo napravili trodimenzionalni oblik, potrebna su nam najmanje lica koja se susreću u svakom vrhu. Krenimo sustavno s najmanjim pravilnim mnogokutom: jednakostranični trokut:

Ako stvorimo poliedar u kojem se tri jednakostranična trokuta susreću u svakoj vertikali, dobit ćemo oblik na lijevoj strani. Zove se Tetrahedron i ima lica. ("Tetra" na grčkom znači "četiri".

Ako se četiri jednakostranična trokuta susreću u svakoj vrhu, dobit ćemo različitu platonsku krutinu. Zove se Oktahedron i ima lica. ("Octa" znači "osam" na grčkom. Baš kao što je i "Octagon" znači osmerostrani oblik, "Octahedron" znači čvrsta osoba s 8 strana.)

Ako se trokuta sastane u svakoj vrhovi, dobivamo ikozaedar . Ima lica. ("Icosa" znači "dvadeset" na grčkom.)

Ako se trokuta susreće u svakoj vertikali, događa se nešto drugačije: jednostavno dobivamo , umjesto trodimenzionalnog poliedra.

A sedam ili više trokuta u svakoj verziji također ne stvaraju nove poliedre: nema dovoljno prostora oko vrha, da se uklopi u toliko trokut.

To znači da smo pronašli platonske krute tvari koje se sastoje od trokuta. Prijeđimo na sljedeći redoviti poligon: kvadrati.

Ako se kvadrata susretnu u svakoj vrhovi, dobivamo kocku . Baš poput kockica, ima lica. Kocka se ponekad naziva i _heksahedron , nakon grčke riječi „hexa“ za „šest“._

Ako se u svakom vrhu nalaze kvadrata, dobit ćemo . I kao i prije, pet ili više kvadrata također neće raditi.

Zatim pokušajmo s redovitim pentagonima:

Ako se pentagona susreću u svim vrhovima, dobit ćemo dodekahedron . Ima lica. ("Dodeka" znači "dvanaest" na grčkom.)

Kao i prije, četiri ili više pentagona jer nema dovoljno prostora.

Sljedeći redovni poligon za pokušaj su šesterokutnici:

Ako se tri šesterokuta susreću u svakom vrhu, odmah dobivamo . Kako nema mjesta za više od tri, čini se da nema platonskih krutih tvari koje se sastoje od šesterokuta.

Isto se događa i za sve redovne poligone s više od šest strana. Oni se ne sjedaju, a mi zasigurno ne dobivamo nikakve trodimenzionalne poligone.

To znači da postoji samo platonskih krutih čestica! Pogledajmo ih sve zajedno:

Tetraedar

Lica
Vrhovi
ivica

Kocka

Lica
Vrhova
ivica

oktaedar

Lica
Vrhova
ivica

dodekahedron

Lica
20 Vrhova
30 ivica

ikozaedra

Lica
12 Vrhova
30 ivica

Obavijest o tome kako je broj lica i vrhova su za kocku i oktaedar , kao i za dodekahedron i ikosahedron , dok je broj ivica . Ti se parovi platonskih krutih tvari nazivaju dvostrukim .

Polededar možemo pretvoriti u njegov dual, „zamjenom“ svakog lica s vrhom, i svakog vrha s licem. Ove animacije pokazuju kako:

Tetraedar je dvostruk sa sobom. Budući da ima isti broj lica i vrhova, njihovo mijenjanje ne bi ništa promijenilo.

Platon je vjerovao da se sva materija u Svemiru sastoji od četiri elementa: zraka, zemlje, vode i vatre. Mislio je da svaki element odgovara jednoj od platonovih tvari, dok će peti predstavljati svemir kao cjelinu. Danas znamo da postoji više od 100 različitih elemenata koji se sastoje od sfernih atoma, a ne poliedra.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

Arhimedije

Platonske krute tvari posebno su važni poliedri, ali postoji bezbroj drugih.

Primjerice, arhimedske čvrste tvari i dalje se moraju sastojati od redovitih poligona , ali možete koristiti više različitih vrsta. Ime su dobili po drugom grčkom matematičaru, Arhimedu iz Sirakuze , a ima ih 13:

Trnoviti tetraedar
8 lica, 12 vrhova, 18 rubova

Cuboctahedron
14 lica, 12 vrhova, 24 ruba

Trnovita kocka
14 lica, 24 vrhova, 36 rubova

Trnoviti oktahedron
14 lica, 24 vrhova, 36 rubova

Rhombicuboctahedron
26 lica, 24 vrhova, 48 rubova

Trnoviti kuboktaedar
26 lica, 48 vrhova, 72 ruba

Snub Cube
38 lica, 24 vrhova, 60 rubova

Icosidodecahedron
32 lica, 30 vrhova, 60 rubova

Skraćeni dodekahedron
32 lica, 60 vrhova, 90 rubova

Trnoviti ikozaedar
32 lica, 60 vrhova, 90 rubova

Rhombicosidodecahedron
62 lica, 60 vrhova, 120 rubova

Trnoviti ikozidodekahedron
62 lica, 120 vrhova, 180 rubova

Snub Dodekahedron
92 lica, 60 vrhova, 150 rubova

Prijave

Platon je pogrešno vjerovao da se svi elementi sastoje od platonskih krutih čestica. Ali obični poliedri imaju mnoga posebna svojstva zbog kojih se pojavljuju drugdje u prirodi - i ta svojstva možemo kopirati u znanost i inženjerstvo.

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

Mnogi virusi , bakterije i drugi mali organizmi imaju oblik ikosaedra . Primjerice, virusi moraju svoj genetski materijal zatvoriti unutar ljuske mnogih identičnih proteinskih jedinica. Ikosaedar je najučinkovitiji način za to, jer se sastoji od nekoliko pravilnih elemenata, ali je gotovo oblikovan poput sfere.

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

Mnoge su molekule oblikovane poput redovitih poliedra. Najpoznatiji primjer je C60 koji se sastoji od 60 atoma ugljika raspoređenih u obliku Trnovitog ikozaedra .

Otkriven je 1985. kada su znanstvenici istraživali međuzvjezdanu prašinu. Nazvali su je "Buckyball" (ili Buckminsterfullerene) po arhitektu Buckminsteru Fulleru , poznatom po izgradnji građevina sličnog izgleda.

Fluorite octahedron

Pyrite cube

Većina kristala ima svoje atome raspoređene u pravilnoj mreži koja se sastoji od tetraedra , kocke ili oktaedra . Kad puknu ili se razbiju, ove oblike možete vidjeti u većoj mjeri.

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

Tetrahedri i oktaedri su nevjerojatno kruti i stabilni, što ih čini vrlo korisnim u gradnji . Svemirski okviri su poligonalne strukture koje mogu podupirati velike krovove i teške mostove.

Football

Polygonal role-playing dice

Platonske krute tvari također se koriste za stvaranje kockica . zbog svoje simetrije, svaka strana ima vjerojatnost da će sletjeti okrenuta prema gore - tako da su kockice poštene.

Trnoviti ikosahedron je vjerojatno najpoznatiji polededr na svijetu: to je oblik nogometa.