Poligoni i poliedriPlatonske čvrste tvari

Na početku ovog tečaja definirali smo pravilne poligone kao posebno „simetrične“ poligone, pri čemu su sve strane i kutovi jednaki. Za poliedre možemo učiniti nešto slično.

U pravilnom poliedru sva su lica ista vrsta pravilnog poligona, a isti se broj lica susreće u svakom vrhu . Poliedri s ta dva svojstva nazivaju se platonski kruti dijelovi , nazvani po grčkom filozofu Platonu .

Pa kako izgledaju platonski kruti dijelovi - i koliko ih ima? Da bismo napravili trodimenzionalni oblik, potrebna su nam najmanje lica koja se susreću u svakom vrhu. Krenimo sustavno s najmanjim pravilnim mnogokutom: jednakostranični trokut:

A sedam ili više trokuta u svakoj verziji također ne stvaraju nove poliedre: nema dovoljno prostora oko vrha, da se uklopi u toliko trokut.

To znači da smo pronašli platonske krute tvari koje se sastoje od trokuta. Prijeđimo na sljedeći redoviti poligon: kvadrati.

Zatim pokušajmo s redovitim pentagonima:

Ako se pentagona susreću u svim vrhovima, dobit ćemo dodekahedron . Ima lica. ("Dodeka" znači "dvanaest" na grčkom.)

Sljedeći redovni poligon za pokušaj su šesterokutnici:

Ako se tri šesterokuta susreću u svakom vrhu, odmah dobivamo tessellaciju poliedar šesterokut . Kako nema mjesta za više od tri, čini se da nema platonskih krutih tvari koje se sastoje od šesterokuta.

Isto se događa i za sve redovne poligone s više od šest strana. Oni se ne sjedaju, a mi zasigurno ne dobivamo nikakve trodimenzionalne poligone.

To znači da postoji samo platonskih krutih čestica! Pogledajmo ih sve zajedno:

Obavijest o tome kako je broj lica i vrhova su zamijenili oko isto za kocku i oktaedar , kao i za dodekahedron i ikosahedron , dok je broj ivica isti su različiti . Ti se parovi platonskih krutih tvari nazivaju dvostrukim .

Polededar možemo pretvoriti u njegov dual, „zamjenom“ svakog lica s vrhom, i svakog vrha s licem. Ove animacije pokazuju kako:

Tetraedar je dvostruk sa sobom. Budući da ima isti broj lica i vrhova, njihovo mijenjanje ne bi ništa promijenilo.

Platon je vjerovao da se sva materija u Svemiru sastoji od četiri elementa: zraka, zemlje, vode i vatre. Mislio je da svaki element odgovara jednoj od platonovih tvari, dok će peti predstavljati svemir kao cjelinu. Danas znamo da postoji više od 100 različitih elemenata koji se sastoje od sfernih atoma, a ne poliedra.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

Arhimedije

Platonske krute tvari posebno su važni poliedri, ali postoji bezbroj drugih.

Primjerice, arhimedske čvrste tvari i dalje se moraju sastojati od redovitih poligona , ali možete koristiti više različitih vrsta. Ime su dobili po drugom grčkom matematičaru, Arhimedu iz Sirakuze , a ima ih 13:

Prijave

Platon je pogrešno vjerovao da se svi elementi sastoje od platonskih krutih čestica. Ali obični poliedri imaju mnoga posebna svojstva zbog kojih se pojavljuju drugdje u prirodi - i ta svojstva možemo kopirati u znanost i inženjerstvo.