Krugovi i PiTangenta, akordi i lukovi
U prethodnim smo odjeljcima naučili nazive dane nekoliko različitih dijelova kruga - poput središta, polumjera, promjera i obima. Međutim, postoji mnogo geometrijskih elemenata koji se odnose na krug i trebamo ih riješiti složenije probleme:
- seant je linija koja presijeca krug u dvije točke.
- A akord je linijski segment čije krajnje točke leže na obodu kruga.
- A tangenta je linija koja dodiruje krug u točno jednoj točki. To se zove točka tangencije.
- luk presjek je kruga.
- sektor deo je unutrašnjosti kruga, omeđen lukom i dva radijusa.
- Konačno, segment je dio unutrašnjosti kruga, omeđen lukom i akordom.
U ovom ćemo dijelu pogledati odnos svih tih elemenata i dokazati teoreme o njihovim svojstvima. Ne brinite za pamćenje svih definicija za sada - uvijek možete upotrijebiti
Tangenta
Uskoro!
Akordi
Uskoro!
Lukovi i sektori
Većina znanstvenika u drevnoj Grčkoj složila se da je Zemlja sfera. Bilo je puno dokaza: od brodova koji su nestajali iza horizonta u moru, do kružnih kretanja zvijezda tijekom noći.
Nažalost, nitko nije točno znao koliko je bila velika Zemlja - sve do oko 200. godine prije Krista, kada je matematičar
Kao što možete vidjeti na dijagramu, luk dio je
Luk između dvije točke A i B često se piše kao
Manji od dva luka naziva se manji luk, a veći se zove glavni luk. Ako su točke A i B točno jedna nasuprot, oba luka imaju jednaku duljinu i
Da bismo pronašli duljinu luka ili područje jednog sektora, moramo znati odgovarajući kut u središtu kruga: to se zove središnji kut.
Primjetite kako luk, sektor i kut zauzimaju isti omjer cijelog kruga. Na primjer, ako je središnji kut , potrebna je
To znači da je dužina luka takođe
Taj odnos možemo izraziti jednadžbom:
Sada možemo preurediti te jednadžbe da bismo pronašli onu varijablu koja nas zanima. Na primjer,
Duljina luka | = | |
= |
Područje sektora | = | |
= |
gdje je r polumjer kruga, a c veličina središnjeg kuta.
Ako se središnji kut mjeri u
Dužina luka | = | |
= |
Područje sektora | = | |
= |
Primijetite kako jednadžbe postaju mnogo jednostavnije i π otkazuje se posvuda. To je zato što, kao što se sjećate, definicija radijana u osnovi je duljina luka u krugu s polumjerom 1.
Sada da vidimo kako možemo upotrebljavati lukove i sektore za izračunavanje opsega Zemlje.
U starom Egiptu, grad Swenet bio je smješten uz rijeku Nil. Swenet je bio poznat po bunaru s znatiželjnim imanjem: postojao je jedan trenutak svake godine, kada je sunčeva svjetlost došla do samog dna bunara - u podne 21. lipnja, dan ljetnog solsticija. U to je točno vrijeme bilo osvijetljeno dno bunara, ali ne i njegove strane, što znači da Sunce stoji neposredno iznad izvora.
Matematičar
Eratosten je primijetio da je u podne na dan ljetnog solsticija obelisk bacio sjenu - što znači da je sunce a ne neposredno iznad njega. Zaključio je da je to zbog zakrivljenosti Zemlje i shvatio da bi se ona mogla koristiti za izračun opsega našeg planeta.
Ovdje možete vidjeti i izvor u Swenetu, kao i obelisk u Aleksandriji. Sunčeve zrake padaju izravno u bunar, ali udaraju obelisk pod kutom i bacaju sjenu.
Eratosteni su izmjerili da je kut sjene 7,2 °. To je isto kao središnji kut luk od Aleksandrije do Sweneta, jer su
Sada možemo koristiti jednadžbu za duljinu luka koju smo dobili gore:
Ako to preuredimo, ustanovit ćemo da je opseg Zemlje
Napokon znamo da je opseg kružnice
Eratostenovo mjerenje bio je jedan od najvažnijih pokusa u antici. Njegova procjena veličine Zemlje bila je iznenađujuće precizna, posebno kada je imao u vidu da je imao pristup vrlo osnovnim mjernim alatima.
Naravno, može biti teško prevesti njegove originalne rezultate u moderne jedinice poput kilometara. U staroj Grčkoj udaljenost je mjerena u stadijima (približno 160 m), ali nije postojao univerzalni standard. Svako je područje imalo malo drugačiju verziju, a mi ne znamo koji je Eratosten koristio.
U sljedećim stoljećima znanstvenici su pokušali koristiti druge metode za izračun polumjera Zemlje - ponekad s vrlo različitim i netočnim rezultatima.
Jedno je od tih netočnih mjerenja natjeralo Kristofora Kolumba da zaplovi zapadno od Portugala. Pretpostavio je da je Zemlja mnogo manja nego što je zapravo, i nadao se da će stići do Indije. Zapravo je stigao na drugi kontinent između: Amerike.
Segmenti
Uskoro!