Riječnik

Odaberite jednu od ključnih riječi s lijeve strane ...

Krugovi i PiTangenta, akordi i lukovi

Vrijeme čitanja: ~25 min
Ova je stranica automatski prevedena i može sadržavati pogreške. Javite se ako nam želite pomoći pregledati prijevode!

U prethodnim smo odjeljcima naučili nazive dane nekoliko različitih dijelova kruga - poput središta, polumjera, promjera i obima. Međutim, postoji mnogo geometrijskih elemenata koji se odnose na krug i trebamo ih riješiti složenije probleme:

  • seant je linija koja presijeca krug u dvije točke.
  • A akord je linijski segment čije krajnje točke leže na obodu kruga.
  • A tangenta je linija koja dodiruje krug u točno jednoj točki. To se zove točka tangencije.
  • luk presjek je kruga.
  • sektor deo je unutrašnjosti kruga, omeđen lukom i dva radijusa.
  • Konačno, segment je dio unutrašnjosti kruga, omeđen lukom i akordom.

U ovom ćemo dijelu pogledati odnos svih tih elemenata i dokazati teoreme o njihovim svojstvima. Ne brinite za pamćenje svih definicija za sada - uvijek možete upotrijebiti pojmovnik.

Tangenta

Uskoro!

Akordi

Uskoro!

Lukovi i sektori

Većina znanstvenika u drevnoj Grčkoj složila se da je Zemlja sfera. Bilo je puno dokaza: od brodova koji su nestajali iza horizonta u moru, do kružnih kretanja zvijezda tijekom noći.

Nažalost, nitko nije točno znao koliko je bila velika Zemlja - sve do oko 200. godine prije Krista, kada je matematičar Eratosten pronašao genijalan način za mjerenje Zemljevog radijusa, koristeći osnovnu geometriju. Trebamo malo više znanja o lukovima i sektorima kruga.

Kao što možete vidjeti na dijagramu, luk dio je kruga, a sektor dio kruga.

Luk između dvije točke A i B često se piše kao AB. Ova je definicija malo dvosmislena: postoji drugi luk koji povezuje A i B, ali ide obrnuto.

Manji od dva luka naziva se manji luk, a veći se zove glavni luk. Ako su točke A i B točno jedna nasuprot, oba luka imaju jednaku duljinu i .

Da bismo pronašli duljinu luka ili područje jednog sektora, moramo znati odgovarajući kut u središtu kruga: to se zove središnji kut.

Primjetite kako luk, sektor i kut zauzimaju isti omjer cijelog kruga. Na primjer, ako je središnji kut 90 °, potrebna je punog kruga.

To znači da je dužina luka takođe 14 cijelog opsega kruga, a područje 14 od cijelog područja kruga.

Taj odnos možemo izraziti jednadžbom:

arc lengthcircumference=circle area=central angle

Sada možemo preurediti te jednadžbe da bismo pronašli onu varijablu koja nas zanima. Na primjer,

Duljina luka=circumference×c360
=2πr×c360
Područje sektora=circle area×c360
=πr2×c360

gdje je r polumjer kruga, a c veličina središnjeg kuta.

Ako se središnji kut mjeri u radijanima a ne stupnjeva, možemo upotrijebiti iste jednadžbe, ali moramo zamijeniti 360 ° sa :

Dužina luka=2πr×c2π
=r×c
Područje sektora=πr2×c2π
=12r2c

Primijetite kako jednadžbe postaju mnogo jednostavnije i π otkazuje se posvuda. To je zato što, kao što se sjećate, definicija radijana u osnovi je duljina luka u krugu s polumjerom 1.

Sada da vidimo kako možemo upotrebljavati lukove i sektore za izračunavanje opsega Zemlje.

U starom Egiptu, grad Swenet bio je smješten uz rijeku Nil. Swenet je bio poznat po bunaru s znatiželjnim imanjem: postojao je jedan trenutak svake godine, kada je sunčeva svjetlost došla do samog dna bunara - u podne 21. lipnja, dan ljetnog solsticija. U to je točno vrijeme bilo osvijetljeno dno bunara, ali ne i njegove strane, što znači da Sunce stoji neposredno iznad izvora.

Stari Egipćani mjerili su velike udaljenosti računajući broj koraka koji su joj bili potrebni za hodanje.

Neki izvori kažu da je "Bunar Eratostena" bio na Slonovskom ostrvu na rijeci Nil.

Matematičar Eratosten živio je u Aleksandriji, oko 800  km sjeverno od Sweneta, gdje je bio direktor Velike knjižnice. U centru grada Aleksandrije stajao je obelisk, visok uski spomenik s vrhom u obliku piramide.

Eratosten je primijetio da je u podne na dan ljetnog solsticija obelisk bacio sjenu - što znači da je sunce a ne neposredno iznad njega. Zaključio je da je to zbog zakrivljenosti Zemlje i shvatio da bi se ona mogla koristiti za izračun opsega našeg planeta.

Ovdje možete vidjeti i izvor u Swenetu, kao i obelisk u Aleksandriji. Sunčeve zrake padaju izravno u bunar, ali udaraju obelisk pod kutom i bacaju sjenu.

Eratosteni su izmjerili da je kut sjene 7,2 °. To je isto kao središnji kut luk od Aleksandrije do Sweneta, jer su kutovi.

Sada možemo koristiti jednadžbu za duljinu luka koju smo dobili gore:

arc lengthcircumference=°360°

Ako to preuredimo, ustanovit ćemo da je opseg Zemlje

circumference=360°7.2°×800 km=km

Napokon znamo da je opseg kružnice C=2πr, dakle, polumjer Zemlje je

rEarth=40000km2π6400km.

Eratostenovo mjerenje bio je jedan od najvažnijih pokusa u antici. Njegova procjena veličine Zemlje bila je iznenađujuće precizna, posebno kada je imao u vidu da je imao pristup vrlo osnovnim mjernim alatima.

Naravno, može biti teško prevesti njegove originalne rezultate u moderne jedinice poput kilometara. U staroj Grčkoj udaljenost je mjerena u stadijima (približno 160 m), ali nije postojao univerzalni standard. Svako je područje imalo malo drugačiju verziju, a mi ne znamo koji je Eratosten koristio.

U sljedećim stoljećima znanstvenici su pokušali koristiti druge metode za izračun polumjera Zemlje - ponekad s vrlo različitim i netočnim rezultatima.

Jedno je od tih netočnih mjerenja natjeralo Kristofora Kolumba da zaplovi zapadno od Portugala. Pretpostavio je da je Zemlja mnogo manja nego što je zapravo, i nadao se da će stići do Indije. Zapravo je stigao na drugi kontinent između: Amerike.

Segmenti

Uskoro!