English
عربى
中文
Deutsch
Español
Français
हिन्दी
Hrvatski
Italiano
日本語
Português
Română
Русский
Svenska
Türkçe
Tiếng ViệtKrugovi i PiTangenta, akordi i lukovi
U prethodnim smo odjeljcima naučili nazive dane nekoliko različitih dijelova kruga - poput središta, polumjera, promjera i obima. Međutim, postoji mnogo geometrijskih elemenata koji se odnose na krug i trebamo ih riješiti složenije probleme:
- seant je linija koja presijeca krug u dvije točke.
- A akord je linijski segment čije krajnje točke leže na obodu kruga.
- A tangenta je linija koja dodiruje krug u točno jednoj točki. To se zove točka tangencije.
- luk presjek je kruga.
- sektor deo je unutrašnjosti kruga, omeđen lukom i dva radijusa.
- Konačno, segment je dio unutrašnjosti kruga, omeđen lukom i akordom.
U ovom ćemo dijelu pogledati odnos svih tih elemenata i dokazati teoreme o njihovim svojstvima. Ne brinite za pamćenje svih definicija za sada - uvijek možete upotrijebiti
Tangenta
Uskoro!
Akordi
Uskoro!
Lukovi i sektori
Većina znanstvenika u drevnoj Grčkoj složila se da je Zemlja sfera. Bilo je puno dokaza: od brodova koji su nestajali iza horizonta u moru, do kružnih kretanja zvijezda tijekom noći.
Nažalost, nitko nije točno znao koliko je bila velika Zemlja - sve do oko 200. godine prije Krista, kada je matematičar
Kao što možete vidjeti na dijagramu, luk dio je
Luk između dvije točke A i B često se piše kao
Manji od dva luka naziva se manji luk, a veći se zove glavni luk. Ako su točke A i B točno jedna nasuprot, oba luka imaju jednaku duljinu i
Da bismo pronašli duljinu luka ili područje jednog sektora, moramo znati odgovarajući kut u središtu kruga: to se zove središnji kut.
Primjetite kako luk, sektor i kut zauzimaju isti omjer cijelog kruga. Na primjer, ako je središnji kut , potrebna je
To znači da je dužina luka takođe
Taj odnos možemo izraziti jednadžbom:
Sada možemo preurediti te jednadžbe da bismo pronašli onu varijablu koja nas zanima. Na primjer,
| Duljina luka | = | |
| = |
| Područje sektora | = | |
| = |
gdje je r polumjer kruga, a c veličina središnjeg kuta.
Ako se središnji kut mjeri u
| Dužina luka | = | |
| = |
| Područje sektora | = | |
| = |
Primijetite kako jednadžbe postaju mnogo jednostavnije i π otkazuje se posvuda. To je zato što, kao što se sjećate, definicija radijana u osnovi je duljina luka u krugu s polumjerom 1.
Sada da vidimo kako možemo upotrebljavati lukove i sektore za izračunavanje opsega Zemlje.
U starom Egiptu, grad Swenet bio je smješten uz rijeku Nil. Swenet je bio poznat po bunaru s znatiželjnim imanjem: postojao je jedan trenutak svake godine, kada je sunčeva svjetlost došla do samog dna bunara - u podne 21. lipnja, dan ljetnog solsticija. U to je točno vrijeme bilo osvijetljeno dno bunara, ali ne i njegove strane, što znači da Sunce stoji neposredno iznad izvora.
Stari Egipćani mjerili su velike udaljenosti računajući broj koraka koji su joj bili potrebni za hodanje.
Neki izvori kažu da je "Bunar Eratostena" bio na Slonovskom ostrvu na rijeci Nil.
Matematičar
Eratosten je primijetio da je u podne na dan ljetnog solsticija obelisk bacio sjenu - što znači da je sunce a ne neposredno iznad njega. Zaključio je da je to zbog zakrivljenosti Zemlje i shvatio da bi se ona mogla koristiti za izračun opsega našeg planeta.
Ovdje možete vidjeti i izvor u Swenetu, kao i obelisk u Aleksandriji. Sunčeve zrake padaju izravno u bunar, ali udaraju obelisk pod kutom i bacaju sjenu.
Eratosteni su izmjerili da je kut sjene 7,2 °. To je isto kao središnji kut luk od Aleksandrije do Sweneta, jer su
Sada možemo koristiti jednadžbu za duljinu luka koju smo dobili gore:
Ako to preuredimo, ustanovit ćemo da je opseg Zemlje
Napokon znamo da je opseg kružnice
Eratostenovo mjerenje bio je jedan od najvažnijih pokusa u antici. Njegova procjena veličine Zemlje bila je iznenađujuće precizna, posebno kada je imao u vidu da je imao pristup vrlo osnovnim mjernim alatima.
Naravno, može biti teško prevesti njegove originalne rezultate u moderne jedinice poput kilometara. U staroj Grčkoj udaljenost je mjerena u stadijima (približno 160 m), ali nije postojao univerzalni standard. Svako je područje imalo malo drugačiju verziju, a mi ne znamo koji je Eratosten koristio.
U sljedećim stoljećima znanstvenici su pokušali koristiti druge metode za izračun polumjera Zemlje - ponekad s vrlo različitim i netočnim rezultatima.
Jedno je od tih netočnih mjerenja natjeralo Kristofora Kolumba da zaplovi zapadno od Portugala. Pretpostavio je da je Zemlja mnogo manja nego što je zapravo, i nadao se da će stići do Indije. Zapravo je stigao na drugi kontinent između: Amerike.
Segmenti
Uskoro!