Riječnik

Odaberite jednu od ključnih riječi s lijeve strane ...

Nizovi i obrasciFigurirativni brojevi

Vrijeme čitanja: ~20 min

Naziv geometrijski niz prilično je zbunjujuć jer ovi nizovi nemaju ništa s geometrijom. U stvari, ime je nastalo prije više stotina godina, kada su matematičari razmišljali o množenju i korjenovanju na mnogo geometrijskiji način.

Međutim, postoje mnogi drugi nizovi koji se _temelje na određenim geometrijskim oblicima - neke od njih ste već vidjeli u uvodu. Ove nizove često nazivamo figurativnim brojevima, a u ovom ćemo dijelu detaljnije pogledati neke od njih.

Trokutni brojevi

Trokutni brojevi generiraju se stvaranjem trokuta čija veličina progresivno raste:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

10

triangle-4

15

triangle-5

21

triangle-6

Već ste vidjeli rekurzivnu formulu za trokutne brojeve: xn= .

Nije slučajno da uvijek imamo 10 čunjeva u kuglanju ili 15 loptica pri igranju biljara: i jedno i drugo su trokutni brojevi!

Nažalost, rekurzivna formula nije od velike pomoći ako želimo pronaći stoti ili 5000. trokutni broj, a da prethodno nismo izračunali sve prethodne. No, kao što smo to radili s aritmetičkim i geometrijskim nizovima, možemo pokušati pronaći eksplicitnu formulu za trokutne brojeve.

Uskoro: animirani dokaz za formulu trokutnih brojeva

Čini se da se trokutni brojevi pojavljuju svugdje u matematici te ćete ih vidjeti ponovo tijekom ovog poglavlja. Jedna posebno zanimljiva činjenica je da se bilo koji cijeli broj može zapisati kao zbroj najviše tri trokutna broja:

${n}

=

+

+

Činjenicu da ovo vrijedi za svaki cijeli broj prvi je put dokazao 1796. godine njemački matematičar Carl Friedrich Gauss - u dobi od 19 godina!

Problem Solving

Koliki je zbroj prvih 100 pozitivnih cijelih brojeva? Drugim riječima, koliko je

1+2+3+4+5++97+98+99+100?

Umjesto da ručno zbrajamo sve, mogu li nam pomoći trokutni brojevi? Što je sa zbrojem prvih 1000 pozitivnih brojeva?

Kvadratni i poligonalni brojevi

Još jedan od nizova koji se zasnivaju na geometrijskim oblicima su kvadratni brojevi:

1, 4+3, 9+5, 16+7, +9, +11, +13, +15, …

Brojeve u ovom nizu možete izračunati tako što ćete svaki cijeli broj kvadrirati (12, 22, 32, ...), ali postoji i drugi način: razlike između uzastopnih kvadratnih brojeva su u rastućem poretku!

Razlog za ovaj obrazac postaje očit ako nacrtamo kvadrat. U svakom sljedećem koraku dodajemo jedan red i jedan stupac. Veličina ovih "kutova" počinje od 1 i povećava se za 2 u svakom koraku - time se formira niz neparnih brojeva.

To također znači da je n ti kvadratni broj zapravo zbroj prvih n neparnih brojeva! Na primjer, zbroj prvih 6 neparnih brojeva je

1+3+5+7+9+11= .

1 3 5 7 9 11 13

Pored toga, svaki je kvadratni broj zbroj dva uzastopna trokutna broja. Na primjer, ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2}. Možete li vidjeti kako možemo podijeliti svaki kvadrat duž njegove dijagonale, na dva trokuta?

x=

Nakon trokutnih i kvadratnih brojeva, možemo nastaviti s većim mnogokutima. Rezultirajući nizovi brojeva nazivaju se poligonalni brojevi.

Na primjer, ako koristimo poligone sa ${k} stranama, dobit ćemo niz ${polygonName(k)} brojeva.

Možete li pronaći rekurzivne i eksplicitne formule za n ti poligonalni broj koji ima k strana? I primjećujete li još neke zanimljive obrasce za veće poligone?

Tetraedarski i kubni brojevi

Naravno, također se ne moramo ograničavati na dvodimenzionalne oblike i obrasce. Možemo složiti sfere u oblik malih piramida, baš kao što se slažu naranče u supermarketu:

1

20

35

Matematičari ove piramide nazivaju tetraedri, a dobiveni niz tetraedarski brojevi.

Uskoro: Više o tetraedarskim brojevima, kubnim brojevima i 12 dana Božića.