Riječnik

Odaberite jednu od ključnih riječi s lijeve strane ...

Nizovi i obrasciPascalov trokut

Vrijeme čitanja: ~25 min

U nastavku možete vidjeti piramidu brojeva koja je nastala pomoću jednostavnog uzorka: započinje s jednim "1" na vrhu, a svaka sljedeća ćelija zbroj je dvije ćelije izravno iznad. Zadržite pokazivač miša iznad neke ćelije da biste vidjeli kako se izračunavaju, a zatim ispunite one koje nedostaju:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
495
792
924
792
495
66
12
1

Ovaj dijagram pokazuje samo prvih dvanaest redaka, ali mogli smo nastaviti u beskonačnost, dodajući nove retke na bazi trokuta. Primjetite da je trokut , što vam može pomoći da izračunate neke ćelije.

Ovaj trokut zove se Pascalov trokut, nazvan po francuskom matematičaru Blaise Pascalu. On je bio jedan od prvih europskih matematičara koji je istražio obrasce i svojstva ovog trokuta, no sve to bilo je poznato i drugim civilizacijama mnogo stoljeća ranije:

450. godine, indijski matematičar Pingala nazvao je trokut "Stubište planine Meru", po svetoj hinduističkoj planini.

U Iranu je trokut bio poznat kao "Khayyam trokut" (مثلث خیام), nazvan po perzijskom pjesniku i matematičaru Omaru Khayyámu.

U Kini, matematičar Jia Xian također je otkrio trokut. Ime je dobio po njegovom nasljedniku, "Trokut Yang Hui" (杨辉 三角).

Pascalov trokut može se napraviti vrlo jednostavnim uzorkom, ali on je ispunjen iznenađujućim uzorcima i svojstvima. Zato je stotinama godina fascinirao matematičare širom svijeta.

Pronalaženje nizova

U prethodnim smo odjeljcima vidjeli mnogo različitih matematičkih nizova. Mnogi od njih mogu se naći i u Pascalovom trokutu:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1

Brojevi u prvoj dijagonali s obje strane uvijek su .

Brojevi u drugoj dijagonali na obje strane su .

Brojevi u trećoj dijagonali na obje strane su .

Brojevi u četvrtoj dijagonali su .

Ako zbrojimo sve brojeve u redu, njihovi zbrojevi tvore drugi niz: .

U svakom retku koji ima prost broj u svojoj drugoj ćeliji, svi su sljedeći brojevi tog prostog broja.

Dijagram iznad označava „plitke“ dijagonale u različitim bojama. Ako zbrojimo brojeve u svaku dijagonalu, dobit ćemo .

Naravno, svaki od ovih obrazaca ima matematičko objašnjenje zašto se pojavljuje. Možda možete pronaći neke od njih!

Drugo pitanje koje se može postaviti je koliko se često pojavljuje broj u Pascalovom trokutu. Jasno je da postoji beskonačno mnogo jedinica, jedna dvojka, a svi ostali brojevi pojavljuju se , u drugoj dijagonali na obje strane.

Neki se brojevi u sredini trokuta također pojavljuju tri ili četiri puta. Postoji čak nekoliko njih koji se pojavljuju šest puta: možete vidjeti i 120 i 3003 četiri puta u trokutu iznad, a pojavit će se još dva puta u redovima 120 i 3003 ,

Budući da je 3003 trokutni broj, on se zapravo pojavljuje još dva puta u trećoj dijagonali trokuta - što čini ukupno osam pojavljivanja.

Nije poznato postoje li i neki drugi brojevi koji se u trokutu pojavljuju osam puta ili postoje brojevi koji se pojavljuju više od osam puta. Američki matematičar David Singmaster pretpostavio je da postoji fiksno ograničenje koliko se često neki broj može pojaviti u Pascalovom trokutu, ali to još nije dokazano.

Djeljivost

Neki obrasci Pascalovog trokuta ne mogu se tako lako prepoznati. Na donjem dijagramu označite sve ćelije u kojima su parni brojevi:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1

Izgleda da parni brojevi u Pascalovom trokutu tvore drugi, manji .

Ručno bojanje svake ćelije traje dugo, ali ovdje možete vidjeti što se događa ako to učinite za još mnogo redaka. A što je s ćelijama djeljivima s nekim drugim brojevima?

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1
1
19
171
969
3876
11628
27132
50388
75582
92378
92378
75582
50388
27132
11628
3876
969
171
19
1
1
20
190
1140
4845
15504
38760
77520
125970
167960
184756
167960
125970
77520
38760
15504
4845
1140
190
20
1
1
21
210
1330
5985
20349
54264
116280
203490
293930
352716
352716
293930
203490
116280
54264
20349
5985
1330
210
21
1
1
22
231
1540
7315
26334
74613
170544
319770
497420
646646
705432
646646
497420
319770
170544
74613
26334
7315
1540
231
22
1
1
23
253
1771
8855
33649
100947
245157
490314
817190
1144066
1352078
1352078
1144066
817190
490314
245157
100947
33649
8855
1771
253
23
1
1
24
276
2024
10626
42504
134596
346104
735471
1307504
1961256
2496144
2704156
2496144
1961256
1307504
735471
346104
134596
42504
10626
2024
276
24
1

Wow! Obojene ćelije uvijek se pojavljuju u (osim nekoliko pojedinačnih ćelija, koje se mogu definirati kao trokut veličine 1).

Ako nastavimo uzorak ćelija djeljivih s 2, dobit ćemo jednu koja je vrlo slična trokutu Sierpinski prikazanom desno. Oblici poput ovog, koji se sastoje od jednostavnog obrasca koji se nastavlja u beskonačnost postajući sve manji i manji, nazivaju se fraktali. Saznat ćete više o njima poslije ...

Sierpinski Triangle

The Sierpinski Triangle

Binomni koeficijenti

Postoji još jedno važno svojstvo Pascalovog trokuta koje moramo spomenuti. Da bismo ga razumjeli, pokušat ćemo riješiti isti problem pomoću dvije potpuno različite metode, a zatim ćemo vidjeti kako su povezane.

Uskoro