Nizovi i obrasciPascalov trokut

U nastavku možete vidjeti piramidu brojeva koja je nastala pomoću jednostavnog uzorka: započinje s jednim "1" na vrhu, a svaka sljedeća ćelija zbroj je dvije ćelije izravno iznad. Zadržite pokazivač miša iznad neke ćelije da biste vidjeli kako se izračunavaju, a zatim ispunite one koje nedostaju:

Ovaj dijagram pokazuje samo prvih dvanaest redaka, ali mogli smo nastaviti u beskonačnost, dodajući nove retke na bazi trokuta. Primjetite da je trokut simetričanpravokutanjednakostraničan, što vam može pomoći da izračunate neke ćelije.

Ovaj trokut zove se Pascalov trokut, nazvan po francuskom matematičaru Blaise Pascalu. On je bio jedan od prvih europskih matematičara koji je istražio obrasce i svojstva ovog trokuta, no sve to bilo je poznato i drugim civilizacijama mnogo stoljeća ranije:

Pascalov trokut može se napraviti vrlo jednostavnim uzorkom, ali on je ispunjen iznenađujućim uzorcima i svojstvima. Zato je stotinama godina fascinirao matematičare širom svijeta.

Nastavi

Pronalaženje nizova

U prethodnim smo odjeljcima vidjeli mnogo različitih matematičkih nizova. Mnogi od njih mogu se naći i u Pascalovom trokutu:

Naravno, svaki od ovih obrazaca ima matematičko objašnjenje zašto se pojavljuje. Možda možete pronaći neke od njih!

Drugo pitanje koje se može postaviti je koliko se često pojavljuje broj u Pascalovom trokutu. Jasno je da postoji beskonačno mnogo jedinica, jedna dvojka, a svi ostali brojevi pojavljuju se najmanje dva putabarem jednomtočno dvaput, u drugoj dijagonali na obje strane.

Neki se brojevi u sredini trokuta pojavljuju tri ili četiri puta. Postoji čak nekoliko njih koji se pojavljuju šest puta: možete vidjeti i 120 i 3003 četiri puta u trokutu iznad, a pojavit će se još dva puta u redovima 120 i 3003 ,

Budući da je 3003 trokutni broj, on se zapravo pojavljuje još dva puta u trećoj dijagonali trokuta - što čini ukupno osam pojavljivanja.

Nije poznato postoje li i neki drugi brojevi koji se u trokutu pojavljuju osam puta ili postoje brojevi koji se pojavljuju više od osam puta. Američki matematičar David Singmaster pretpostavio je da postoji fiksno ograničenje koliko se često neki broj može pojaviti u Pascalovom trokutu, ali to još nije dokazano.

Djeljivost

Neki obrasci Pascalovog trokuta ne mogu se tako lako prepoznati. Na donjem dijagramu označite sve ćelije u kojima su parni brojevi:

Izgleda da parni brojevi u Pascalovom trokutu tvore drugi, manji trokutmatricukvadrat.

Ručno bojanje svake ćelije traje dugo, ali ovdje možete vidjeti što se događa ako to učinite za još mnogo redaka. A što je s ćelijama djeljivima s nekim drugim brojevima?

Binomni koeficijenti

Postoji još jedno važno svojstvo Pascalovog trokuta koje moramo spomenuti. Da bismo ga razumjeli, pokušat ćemo riješiti isti problem pomoću dvije potpuno različite metode, a zatim ćemo vidjeti kako su povezane.

Uskoro