Riječnik

Odaberite jednu od ključnih riječi s lijeve strane ...

Nizovi i obrasciPosebni nizovi

Vrijeme čitanja: ~40 min

Pored aritmetičkih i geometrijskih nizova, Fibonaccijevih brojeva i figurativnih brojeva, postoji bezbroj zanimljivih nizova koji ne slijede sličan, pravilni uzorak.

Prosti brojevi

Jedan primjer koji ste već vidjeli su prosti brojevi. Kažemo da je broj prost ako nema djelitelja .

Evo prvih nekoliko prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, , , , …

Nažalost, prosti brojevi ne slijede jednostavan obrazac ili rekurzivnu formulu. Ponekad se pojavljuju neposredno jedan pored drugog (zovu se blizanački prosti brojevi.), a ponekad postoje velike praznine između njih. Čini se da su raspoređeni gotovo nasumično! Prosti brojevi također nemaju jednostavan geometrijski prikaz poput trokutnih ili kvadratnih brojeva, ali uz malo truda možemo otkriti zanimljive obrasce:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

Ako precrtamo sve umnoške malih cijelih brojeva, preostali brojevi moraju biti prosti. Ova metoda zove se Eratostenovo sito.

Ako nacrtamo grafikon koji se povećava za 1 kad god se pojavi prost broj, dobit ćemo "stepenastu" funkciju sa zapanjujućim svojstvima.

Možete saznati više o tim i drugim svojstvima prostih brojeva u našem poglavlju Djeljivost i prosti brojevi. To su neki od najvažnijih i najtajanstvenijih pojmova u matematici! figure: img(src="/resources/sequences/images/primes.svg" width=480 height=156)

Savršeni brojevi

Da bismo utvrdili je li broj prost, moramo pronaći sve njegove faktore. Obično množimo faktore da bismo dobili izvorni broj, ali da vidimo što će se dogoditi ako zbrojimo sve faktore broja (bez samog broja):

NumberFactorsSum of Factors
5
1
1
6
1
2
3
6
7
1
1
8
1
2
4
7
9
1
3
4
10
1
2
5
11
1
12
1
2
3
4
6
13
1
14
1
2
7
15
1
3
5
16
1
2
4
8
17
1
18
1
2
3
6
9

Usporedimo ove brojeve s njihovim zbrojem faktora:

Za većinu brojeva, zbroj njegovih faktora je . Ti se brojevi nazivaju manjkavi brojevi.

Za nekoliko brojeva, zbroj njihovih faktora je veći od njh samih. Ti se brojevi nazivaju obilni brojevi.

Samo jedan broj na gornjem popisu ima zbroj faktora koji je jednak tom broju: . Ovakav broj zove se savršeni broj.

Sljedeći savršeni broj je 28, jer ako zbrojimo sve njegove faktore, dobit ćemo 1+2+4+7+14=28. Nakon toga, savršeni brojevi postaju mnogo rjeđi:

6, 28, 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128, …

Primjetite da su svi ovi brojevi . Ispada da su svi ovi brojevi ujedno i trokutasti!

Savršene brojeve prvi su proučavali grčki matematičari poput Euklida, Pitagore i Nicomachusa, prije više od 2000 godina. Izračunali su prvih nekoliko savršenih brojeva i pitali se ima li možda neparnih. Danas matematičari koriste računala za provjeru prvih 10 1500 brojeva (to je jedan i 1500 nula), ali bez uspjeha: svi savršeni brojevi koje su pronašli bili su parni. Do danas još uvijek nije poznato postoje li neki neparni savršeni brojevi, što ovaj problem čini najstarijim neriješenim problemom u čitavoj matematici!

Euklid iz Aleksandrije

Hailstonov niz

Većina nizova koje smo do sada vidjeli imala je jedno pravilo ili obrazac. Ali nema razloga da ne kombiniramo više različitih - na primjer, rekurzivnu formulu poput ove:

If xn is even:xn+1=xn/2
If xn is odd:xn+1=3xn+1

Počnimo s x1=5 i vidimo što će se dogoditi:

5, ×3 +1, ÷2, ÷2, ÷2, ÷2, ×3 +1, ÷2, ÷2, …

Izgleda da nakon nekoliko elemenata, niz dostigne "ciklus" ”: 4, 2, 1 će se nastaviti ponavljati iznova i iznova, zauvijek. Naravno, mogli smo odabrati drugačiju polaznu točku, poput ${n}. Tada bi niz izgledao ovako:

, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

Čini se da duljina niza jako varira, ali uvijek će završiti u ciklusu 4, 2, 1 - bez obzira koji prvi broj odaberemo. U grafikonu možemo čak zamisliti i elemente niza:

Start value:${n}

Primjetite kako neke početne točke završavaju vrlo brzo, dok druge (poput 31 ili 47) naprave više od stotinu koraka prije nego što dođu do ciklusa 4, 2, 1.

Svi nizovi koji slijede ovu rekurzivnu formulu nazivaju se nizovi tuča, jer se čini da se kreću nasumično gore-dolje prije nego što dosegnu ciklus 4, 2, 1 - baš kao i tuča koje se kreće prema gore i dolje u oblaku prije nego što se obruši na Zemlju.

  1. godine, matematičar Lothar Collatz pretpostavio je da se svaki niz tuča na kraju završi u ciklusu 4, 2, 1 - bez obzira na odabranu početnu vrijednost. Već smo provjerili nekoliko početnih točaka, a računalno su isprobani svi brojevi do 1020 - to je 100 milijardi milijardi ili 1 nakon čega slijedi dvadeset nula.

Međutim, postoji beskonačno mnogo cijelih brojeva. Nemoguće je provjeriti svaki od njih, a nitko nije uspio pronaći dokaz koji vrijedi za sve brojeve.

Baš kao i potraga za neparnim savršenim brojevima, ovo je još uvijek otvoren matematički problem. Nevjerojatno je da ovi jednostavni uzorci za nizove mogu voditi do pitanja koja su stoljećima zbunjivala čak i najbolje matematičare na svijetu!

Niz pogledaj i reci

Evo još jednog niza koji se malo razlikuje od svih gore navedenih. Možete li pronaći uzorak?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …

Taj se niz naziva pogledaj i reci, a obrazac je upravo ono što mu ime kaže: započinjete s brojem 1, a svaki sljedeći izraz je ono što dobijete ako "glasno pročitate" prethodni. Evo primjera:

Možete li sada pronaći sljedeće elemente?

..., 312211, , , ...

Ovaj se niz često koristi kao zagonetka da bi se nasamarili matematičari - jer se čini da je uzorak potpuno ne-matematički. Međutim, ispostavlja se da niz ima mnoga zanimljiva svojstva. Na primjer, svaki element završava s , a niti jedna znamenka veća od se nikad ne koristi.

Britanski matematičar John Conway otkrio je da će se, bez obzira koji broj odaberemo kao početnu vrijednost, niz na kraju podijeliti u različite „odjeljke“ koji međusobno nisu povezani. Conway je to nazvao kozmološkom teoremom i imenovao različite odjeljke pomoću kemijskih elemenata Vodik, Helij, Litij, ..., sve do _{Plutonija}.

Kviz o nizovima

Sada ste vidjeli mnoge različite matematičke nizove - neki su temeljeni na geometrijskim oblicima, neki slijede određene formule, a neki se ponašaju gotovo nasumično.

U ovom kvizu možete kombinirati sve svoje znanje o nizovima. Postoji samo jedan cilj: pronaći uzorak i izračunati sljedeća dva elementa niza!

Find the next number

7, 11, 15, 19, 23, 27, , , … Pattern: Always +4

11, 14, 18, 23, 29, 36, , , … Pattern: +3, +4, +5, +6, …

3, 7, 6, 10, 9, 13, , , … Pattern: +4, –1, +4, –1, …

2, 4, 6, 12, 14, 28, , , … Pattern: ×2, +2, ×2, +2, …

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , … Pattern: Fibonacci Numbers

27, 28, 30, 15, 16, 18, , , … Pattern: +1, +2, ÷2, +1, +2, ÷2, …

1, 9, 25, 49, 81, 121, , , … Pattern: Odd square numbers