Riječnik

Odaberite jednu od ključnih riječi s lijeve strane ...

Nizovi i obrasciUvod

Vrijeme čitanja: ~25 min

Mnoge profesije u kojima se koristi matematika usmjerene su na jedan određeni dio - pronalaženje obrazaca , te za mogućnost predviđanja budućnosti. Evo nekoliko primjera:

U posljednjem desetljeću, policijske uprave širom svijeta počele su se više oslanjati na matematiku. Posebni algoritmi mogu pomoću podataka iz prošlih zločina predvidjeti kada i gdje bi se zločini mogli dogoditi u budućnosti. Primjerice, sustav PredPol (kraće za predictive policing“), pomogao je smanjiti stopu kriminala u dijelovima Los Angelesa za 12%!

Pokazalo se da potresi slijede slične obrasce kao i zločini. Baš kao što bi jedan zločin mogao pokrenuti niz ostalih, tako i jedan potres može uzrokovati nove potrese (aftershock). U matematici se to naziva „procesi koji sami sebe stvaraju“, a postoje i jednadžbe koje pomažu predvidjeti kada bi se sljedeći mogao dogoditi.

Bankari također analiziraju prošle podatke o cijenama dionica, kamatama i tečajevima kako bi procjenili kako bi se financijska tržišta mogla mijenjati u budućnosti. Biti u stanju predvidjeti hoće li vrijednost dionica porasti ili opasti može biti vrlo unosno!

Profesionalni matematičari koriste vrlo složene algoritme kako bi pronašli i analizirali sve te obrasce, ali počet ćemo s nečim malo osnovnijim.

Jednostavni nizovi

U matematici, niz je lanac brojeva (ili drugih predmeta) koji obično slijede određeni obrazac. Pojedini elementi u nizu nazivaju se elementi niza.

Evo nekoliko primjera nizova. Možete li pronaći njihove obrasce i izračunati sljedeća dva elementa u nizu?

3, 6+3, 9, 12, 15, , … Pattern: “Add 3 to the previous number to get the next one.”

4, 10, 16, 22, 28, , , … Pattern: “Add 6 to the previous number to get the next one.”

3, 4, 7, 8, 11, , , … Pattern: “Alternatingly add 1 and add 3 to the previous number, to get the next one.”

1, 2, 4, 8, 16, , , … Pattern: “Multiply the previous number by 2, to get the next one.”

Točkice (…) na kraju znače da je niz beskonačan. Kada govorimo o ovakvim nizovima u matematici, često svaki element niza predstavljamo posebnom varijablom:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

Mali broj nakon x naziva se indeks i označava mjesto elementa u nizu. To znači da možemo n ti element niza zapisati kao .

Trokutasti i kvadratni brojevi

Nizovi u matematici ne moraju uvijek biti brojevi. Evo niza koji se sastoji od geometrijskih oblika - trokuta sve većih veličina:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

triangle-4

triangle-5

triangle-6

Pri svakom koraku dodajemo još jedan redak prethodnom trokutu. Duljina ovih novih redaka također se svaki put povećava za jedan. Možete li prepoznati uzorak?

1, 3+2, 6+3, 10+4, 15+5, 21+6 +7, +8, …

Ovaj uzorak možemo opisati i pomoću posebne formule:

xn = xn1 + n

Da bismo dobili broj za n -ti trokut, uzmemo broj za trokut i dodamo n. Na primjer, ako je n = ${n}, formula postaje x${n} = x ${n-1} + ${n}.

Formula koja određuje xn kao funkciju prethodnih izraza u nizu naziva se rekurzivna formula. Sve dok znate niza, možete izračunati sve sljedeće elemente.


Još jedan primjer niza koji se sastoji od geometrijskih oblika su kvadratni brojevi. Svaki element niza formiran je od sve većih kvadrata:

1

square-1

4

square-2

9

square-3

square-4

square-5

square-6

Za trokutne brojeve pronašli smo rekurzivnu formulu koja svaki sljedeći element niza opisuje kao funkciju njegovih prethodnih elemenata. Za kvadratne brojeve možemo još bolje: formula koja vam izravno određuje n, a da prethodno ne moramo izračunati sve prethodne:

xn =

To je eksplicitna formula. Možemo je koristiti, na primjer, za izračunati da je 13. kvadratni broj , a da prethodno nismo pronašli prethodnih 12 kvadratnih brojeva.


Rezimirajmo sve definicije koje smo vidjeli do sada:

niz je popis brojeva, geometrijskih oblika ili drugih objekata koji slijede određeni obrazac. Pojedine stavke u nizu nazivaju se elementi niza i predstavljene su varijablama poput xn.

rekurzivna formula za niz određuje vrijednost n tog elementa niza kao funkciju . Potrebno je navesti početni element niza (ili više njih).

Eksplicitna formula za niz određuje vrijednost n tog elementa niza kao funkciju , bez pozivanja na druge elemente niza.

Fotografiranje niza radnji

U sljedećim ćete poglavljima upoznati više različitih matematičkih nizova, iznenađujućih obrazaca i neočekivanih primjena.

Prvo, ipak, pogledajmo nešto sasvim drugo: fotografiranje niza radnji. Fotograf brzo snima niz snimaka, a zatim ih spaja u jednu sliku:

Možete li vidjeti kako skijaš formira niz? Uzorak nije zbrajanje ili množenje, već geometrijska transformacija. Između uzastopnih koraka, skijaš je translatiran i .

Evo još nekoliko primjera fotografiranja niza radnji: