Riječnik

Odaberite jednu od ključnih riječi s lijeve strane ...

Preslikavanja i simetrijaPreslikavanja koja čuvaju udaljenost (izometrije)

Vrijeme čitanja: ~30 min

Preslikavanje koje čuva udaljenost posebna je vrsta preslikavanja kojim se ne mijenja veličina i oblik lika. Mogli bismo zamisliti da je lik izrađen od čvrstog materijala poput drveta ili metala: možemo ga premjestiti, okrenuti ili preokrenuti, ali ne možemo ga rastezati, savijati ili na drugi način deformirati.

Koje je od ovih pet preslikavanja izometrija?

Postoje samo tri različite vrste izometrija:

Preslikavanje koja samo pomiče lik zove se translacija.

Preslikavanje koje okreće lik na drugu stranu zove se zrcaljenje.

Preslikavanje koje vrti lik zove se rotacija.

Možemo kombinirati više vrsta preslikavanja kako bismo stvorili složenije preslikavanje - na primjer, translacija praćena rotacijom.

Pogledajmo detaljnije svaku od tih vrsta preslikavanja.

Translacije

Translacija je preslikavanje koje pomiče svaku točku lika za istu udaljenost u istom smjeru.

U koordinatnoj ravnini možemo opisati translaciju prema tome za koliko se lik pomiče prema osi x i osi y. Na primjer, transformacija za (3, 5) pomiče lik za 3 duž osi x i za 5 duž osi y.

Translacija za (, )

Translacija za (, )

Translacija za (, )

Sad je na vama red - translatirajte sljedeće likove kao što je prikazano:

Translatiraj za (3, 1)

Translatiraj za (–4, –2)

Translatiraj za (5, -1)

Zrcaljenja

Zrcaljenje je preslikavanje koje "okreće" ili "zrcali" lik preko crte. Ta crta zove se os simetrije.

Nacrtajte os simetrije u svakom od ovih primjera:

Sad je na vama red - nacrtajte odraz svakog od ovih likova:

Primijetite da ako točka leži na osi simetrije, kada se zrcali: njezina slika je ista točka kao i original.

U svim gore navedenim primjerima os simetrije bila je vodoravna, okomita ili pod kutom od 45 ° - što je olakšalo crtanje slike. Ako to nije slučaj, za crtanje je potrebno malo više posla:

Da bismo ovaj lik preslikali po osi refleksije, moramo posebno preslikati svaki vrh, a zatim vrhove ponovo povezati.

Odaberimo jedan od vrhova i povucimo kroz taj vrh pravac koji je okomit na os refleksije.

Sad možemo izmjeriti udaljenost od vrha do osi refleksije i označiti točku koja je jednalo udaljena na drugoj strani. (Za to možemo koristiti ravnalo ili šestar.)

Ponovimo postupak za sve ostale vrhove našeg lika.

Ako sada spojimo preslikane vrhove odgovarajućim redoslijedom, pronašli smo odraz!

Rotacije

Rotacija je transformacija koja "okreće" oblik pod određenim kutom oko fiksne točke. Ta se točka zove centar rotacije. Rotacije mogu biti u smjeru kazaljke na satu ili obrnuto.

Pokušajte rotirati oblike oko crvenog središta rotacije:

Rotirajte za 90° u smjeru kazaljke na satu.

Rotirajte za 180°.

Rotirajte za 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Puno je teže crtati rotacije koje nisu točno 90° ili 180°. Pokušajmo rotirati ovaj lik za ${10*ang} ° oko centra rotacije.

Kao i za zrcaljenje, svaki vrh u liku moramo rotirati pojedinačno.

Počinjemo odabirom jednog od vrhova i crtanjem crte do centra rotacije.

Koristeći kutomjer, možemo izmjeriti kut ${ang*10} ° oko centra rotacije. Nacrtajmo drugi pravac pod tim kutom.

Koristeći šestar ili ravnalo, možemo pronaći točku na ovom pravcu koja ima istu udaljenost od centra rotacije kao i izvorna točka.

Sada moramo ponoviti ove korake za sve ostale vrhove našeg lika.

Na kraju, kao i u prethodnom primjeru, povežemo pojedinačne vrhove da bismo dobili rotiranu sliku našeg izvornog lika.

Preslikavanja su važan pojam u mnogim dijelovima matematike, a ne samo u geometriji. Na primjer, mogu se preslikavati funkcije pomicanjem ili rotiranjem njihovih grafova. Pomoću preslikavanja također možemo odrediti jesu li dva oblika kongruentna.