Preslikavanja i simetrijaGrupe simetrija i pozadine

Neki likovi imaju više od jedne simetrije - pogledajmo kvadrat kao jednostavan primjer.

Već ste zaključili da kvadrat ima osi simetrije.

Također je i centralno simetričan za °, ° i °.

I na kraju, možemo razmišljati i na način da je "ne raditi ništa" posebna vrsta simetrije - jer je rezultat (očito) isti kao na početku. Ovo se ponekad naziva identitet.

Ukupno smo pronašli različitih vrsta "simetrije kvadrata".

Sada možemo početi računati s ovim simetrijama. Na primjer, možemo dodati dvije simetrije kako bismo dobili nove:

+=

+=

Kad god zbrojimo dvije simetrije kvadrata, rezultat je nova simetrija. Ovo je "kalkulator simetrije", gdje to možete i sami isprobati:

+

=

×

+

+

+

+

+

+

+

+

Provedite malo vremena igrajući se s kalkulatorom simetrije i pokušajte pronaći neki obrazac. Možete li dopuniti ova zapažanja?

• Zbrajanje dviju rotacija uvijek daje rotacijurefleksiju (ili identitet).
• Zvrajanje dviju refleksija uvijek daje rotacijurefleksiju (ili identitet).
• Zbrajanje dviju istih simetrija u suprotnom redoslijedu ponekad daje drukčijiuvijek daje drukčijiuvijek daje jednaki rezultat.
• Zbrajanje identiteta ne mijenja ništadaje refleksijudaje suprotan lik.

Možda ste primjetili da je zbrajanje simetrija zapravo vrlo slično zbrajanju cijelih brojeva:

1. Zbrajanje dviju simetrija/cijelih brojeva uvijek daje novu simetriju/cijeli broj:
   +=
   12+7=19
   Continue
2. Zbrajanje simetrija/cijelih brojeva je asocijativno:
   ++=++
   4+2+5=4+2+5
   Continue
3. Svaka simetrija/cijeli broj ima inverz, drugu simetriju/cijeli broj koji, kad zbrajamo s njim, daje identitet:
   +=
   4+–4=0
   Continue

U matematici, svaki skup koja ima ta svojstva zove se grupa. Neke grupe (poput simetrije kvadrata) imaju konačan broj elemenata. Druge (poput cijelih brojeva) imaju beskonačno mnogo elemenata. U ovom primjeru započeli smo s osam simetrija kvadrata. Zapravo, svaki geometrijski lik ima svoju grupu simetrija. Te grupe sadrže različite elemente, ali uvijek zadovoljavaju tri gore navedena pravila. Grupe se pojavljuju svugdje u matematici. Elementi grupe mogu biti brojevi ili simetrije, ali i polinomi, permutacije, matrice, funkcije ... bilo što što zadovoljava tri pravila grupe. Ključna ideja teorije grupa je da nas ne zanimaju pojedini elementi gremo, nego kako oni međusobno djeluju jedni na druge.

Na primjer, grupe simetrija različitih molekula mogu znanstvenicima pomoći predvidjeti i objasniti svojstva nekih materijala. Grupe se također mogu koristiti za analizu pobjedničke strategije u društvenim igrama, ponašanja virusa u medicini, različitih harmonija u glazbi i mnogih drugih koncepata ...

Svojstva molekule CCl ₄ (lijevo) i Adenovirusa (desno) određena su njihovim simetrijama.

Popoločavanja ravnine

U prethodnim odjeljcima vidjeli smo dvije različite vrste simetrija kojima odgovaraju dvije različite transformacije: rotacije i refleksije. Ali postoji i simetrija za treću vrstu transformacije u ravnini: translacijevrtnjaprebacivanja.

Translacija nije primjenjiva na izolirane predmete poput cvijeća ili leptira, ali jest na pravilnim uzorcima koji se protežu u svakom smjeru:

Šesterokutne saće

Keramičke zidne pločice

Osim translacije, osne i centralne simetrije, postoji čak i četvrta vrsta: klizno zrcaljenje. Ovo je kombinacija osne simetrije i translacije u istom smjeru kao i os simetrije.

Uzorak može imati više vrsta simetrije. Kao i kod kvadrata, možemo pronaći grupu simetrija uzorka, koja sadrži sve njegove različite simetrije.

Ove grupe ne govore mnogo o tome kako izgleda uzorak <<<< (npr. njegovu boju i oblik), nego samo kako se ponavlja <<<<. Više različitih uzoraka može imati istu grupu simetrija - sve dok su raspoređeni i ponavljaju se na isti način.

Ova dva uzorka imaju iste simetrije, iako izgledaju posve različito. Ali simetrije se ni ne bave bojama ili oblicima na površini.

Ova dva uzorka također imaju iste simetrije - iako izgledaju sličnije odgovarajućim uzorcima na lijevoj strani, nego jedni drugima.

Iako postoji beskonačno mnogo mogućih uzoraka, svi oni pripadaju jednoj od samo 17 različitih grupa simetrija. Te grupe zovu se popločavanja ravnine. Svako popločavanje ravnine definirano je kombinacijom translacija, rotacija, osnih simetrija i kliznih zrcaljenja. Možete li vidjeti centre rotacije i osi simetrije u ovim primjerima?

Group 1 – P1
Only translations

Group 2 – P2
Rotations of order 2, translations

Group 3 – P3
Rotations of order 3 (120°), translations

Group 4 – P4
Four rotations of order 2 (180°), translations

Group 5 – P6
Rotations of order 2, 3 and 6 (60°), translations

Group 6 – PM
Parallel axes of reflection, translations

Group 7 – PMM
Perpendicular reflections, rotations of order 2, translations

Group 8 – P4M
Rotations (ord 2 + 4), reflections, glide reflections, translations

Group 9 – P6M
Rotations (ord 2 + 6), reflections, glide reflections, translations

Group 10 – P3M1
Rotations of order 3, reflections, glide reflections, translations

Group 11 – P31M
Rotations of order 3, reflections, glide reflections, translations

Group 12 – P4G
Rotations (ord 2 + 4), reflections, glide reflections, translations

Group 13 – CMM
Perpendicular reflections, rotations of order 2, translations

Group 14 – PMG
Reflections, glide reflections, rotations of order 2, translations

Group 15 – PG
Parallel glide reflections, translations

Group 16 – CM
Reflections, glide reflections, translations

Group 17 – PGG
Perpendicular glide reflections, rotations of order 2, translations

Nažalost, ne postoji jednostavan razlog zašto ovih grupa ima točno 17, a dokazivanje toga zahtijeva provodi se pomoću naprednije matematike. Umjesto toga, pokušajte nacrtati vlastite ponovljene uzorke za svaku od 17 popločavanja ravnine:

Primjeri crteža drugih učenika